Enunciado

Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0   c m , um comprimento de onda de 10   c m e uma frequência de 400   H z . Se a equação da onda é da forma   y ( x ,   t )   =   y m s e n ( k x   + ω t ) , determine (a) y m (b) k , (c) ω e (d) o sinal que precede ω . Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?

Passo 1

Falaa galerinha do RespondeAí, tudo beleza?

Nesse exercício aqui, o enunciado nos diz que uma onda senoidal transversal de amplitude y m = 2,0   cm , comprimento de onda λ = 10   cm e frequência f = 400   Hz , se propaga np sentido positivo de uma eixo x . Sabendo que a equação da onda é da forma:

y x ,   t = y m sen ⁡ k x + ω t

O enunciado nos pede, na letra (a), pra encontrar o valor de y m .

Massss, como a gente é malandro, podemos pegar essa informação diretamente do enunciado, afinal ele nos disse que y m = 2,0   cm , sendo assim, a amplitude é dada como:

y m = 2,0   cm

Passo 2

Belezoca, agora na lerta (b), ele pede pra gene determinar o valor do número de onda k , pra isso podemos lembrar da relação:

k = 2 π λ

E como o enunciado nos deu que λ = 10   cm = 0,1   m , vamos obter que:

k = 2 π 0,1

k = 63   m -1

Passo 3

Iradoso, já na letra (c), queremos determinar o valor da frequência angular ω , pra isso vamos precisar lembrar da relação:

ω = 2 π f

E como o enunciado nos deu que f = 400   Hz , teremos que:

ω = 2 π 400   Hz

ω = 2510   rad/s

Passo 4

Maravilha, agora na letra (d), como queremos encontrar o sinal que precede ω , é só a gente lembrar que ondas que se propagam no sentido positivo do eixo x , possuem sinal negativo em ω , equanto que ondas que se propagam no sentido negativo possuem sinal positivo.

Show de bola, como o enunciado nos disse que a onda se propaga no sentido positivo, teremos um sinal negativo. Então de acordo com os dados que já descobrimos, podemos escrever a equação da onda como:

y x ,   t = 2,00   cm sen ⁡ 63   m -1 x - 2510   s -1 t  

Passo 5

(e) A velocidade transversal é dada pela derivada de y ( x , t ) com relação ao tempo. Derivando y ( x , t ) , a gente encontra:

d y ( x , t ) d t = - ω y m c o s ⁡ ( k x - ω t )

A malandragem é que o módulo dessa expressão adquire um valor máximo quando o módulo do cosseno é máximo, ou seja, é igual a 1 . Sendo assim, a velocidade máxima será:

v m a x = ω y m

v m a x = 2510   rad/s × 0,020   m

v m a x = 50   m/s

Passo 6

(f)A velocidade de propagação transversal da onda é dada pela famosa equação:

v = λ f

E o enunciado nos deu λ = 0,1 m e f = 400 H z :

v = 0,1 × 400

v = 40   m/s

Prontinho!

Resposta

(a) 2 , 0 0   cm

(b) 63   m -1

(c) 2 510   rad/s

(d)Negativo

(e) 50   m/s

(f) 40   m/s

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