Enunciado

Um oscilador harmônico simples em x = 0 gera uma onda em uma corda. O oscilador opera em uma frequência de 40 H z e com uma amplitude de 3 c m . A corda possui uma densidade linear de 50 g / c m e está esticada a uma tensão de 5 N .

  1. Determine a velocidade da onda;
  2. Calcule o comprimento de onda;
  3. Escreva a função de onda dessa onda.
  4. Suponha que o oscilador tenha o seu deslocamento máximo para cima no tempo t = 0 .

  5. Calcule a aceleração transversal máxima dos pontos da corda.
  6. Quando tratamos de ondas transversais neste capítulo, a força da gravidade foi ignorada. Essa aproximação é razoável para essa onda? Explique.

Passo 1

Letra a)

Como temos a tensão e a densidade, fica tranquilo determinar a velocidade:

v = F μ = 5 N 0,05 k g / m = 10 m / s

Passo 2

Letra b)

Com a velocidade determinada e a frequência dada no enunciado, o comprimento de onda é:

v = λ f

E é só substituir:

λ = v f = 10 40 = 0,25 m

Passo 3

Letra c)

A função de onda mais geral que aprendemos é essa aqui ó:

y x , t = A c o s ( k x - ω t )

Agora precisamos calcular k   e   ω . Começando pelo número de onda:

k = 2 π λ = 2 π 0,25 = 8 π r a d / m

E agora a velocidade angular ω :

ω = 2 π f = 2 . π . 40 = 80 π r a d / s

Perfeito! Agora é só juntar tudo isso (e com o valor da amplitude que foi dado lá no enunciado) na equação geral das ondas:

y x , t = 3 c m cos ⁡ [ ( 8 π r a d / m ) x - ( 80 π r a d / s ) t ]

Passo 4

Letra d)

A aceleração vai ser a segunda derivada temporal da posição. Então começamos derivando uma vez y x , t :

∂ y ∂ t = A ω s e n ( k x - ω t )

E derivando novamente:

∂ 2 y ∂ t 2 = - A ω 2 c o s ⁡ ( k x - ω t )

E esse valor vai ser máximo quando c o s ⁡ ( k x - ω t ) for - 1 :

a m á x = A ω 2

E os valores de A e ω calculamos no passo anterior:

a m á x = A 2 π f 2 = 3 × 10 - 2 2 π . 40 2 = 1890 m / s 2

Passo 5

Letra e)

Por fim temos que a aceleração transversal se mostrou muito maior do que a aceleração, e por esse motivo é razoável fazer essa aproximação.

Resposta

a )   10 m / s

b )   0,25 m

c ) y x , t = 3 c m cos ⁡ [ ( 8 π r a d / m ) x - ( 80 π r a d / s ) t ]

d ) 1890 m / s 2

e )   a m á x ≫ g

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