Enunciado

43. A massa do sistema apresentado é liberada a partir do repouso em x 0 = 150   m m , quando t = 0 . Determine o deslocamento x em t = 0,5   s , se (a) c = 200   N ⋅ s / m e (b) 300   N ⋅ s / m .

Passo 1

Primeiramente, vamos tratar de obter a frequência natural ω n   do nosso sistema, a qual é dada em função da massa m e da constante elástica k da mola, por:

ω n   = k m

E substituindo os valores numéricos pertinentes a cada variável, chegamos à:

ω n   = 200   N / m 50   k g

ω n   = 2   r a d / s

Passo 2

(a) Obtida a nossa frequência angular, devemos lembrar que o fator de amortecimento ξ é dado em função do coeficiente de amortecimento viscoso c e da frequência angular natural ω n   , pela seguinte fórmula:

ξ = c 2 m ω n  

A questão nos fornece que c = 200   N ⋅ s / m . E susbtituindo os valores das outras variáveis, obtemos que:

ξ = 200   N ⋅ s / m 2 50   k g ( 2   r a d / s )

ξ = 1

Como o fator de amortecimento é igual a 1 , trata-se de uma situação de amortecimento crítico, cuja equação de movimento é dada por:

x = ( A 1 + A 2 t ) e - ω n t

O valor de A 1 nós já temos, que é a posição inicial x 0 em que o corpo é liberado, igual a 0,15   m . E o valor de A 2   obviamente vai ser o dobro de A 1 , uma vez que a diferença entre A 2 e A 1 é que vai nos fornecer a amplitude do movimento do nosso bloco, a qual também é igual a 0,15   m . Logo, nossa equação de movimento pode ser reescrita como:

x = ( 0,15 + 0,3 t ) e - 2 t

Agora só falta substituir o valor do tempo que nos é fornecido, igual a 0,5   s :

x = 0,15 + 0,3 ⋅ 0,5 e - 2 ⋅ 0,5   m

x = 0,30 e - 2 ⋅ 0,5   m  

x ≅ 0,110   m

Passo 3

(b) De novo repetimos o mesmo procedimento da letra (a), em que obtida a nossa frequência angular, devemos lembrar que o fator de amortecimento ξ é dado em função do coeficiente de amortecimento viscoso c e da frequência angular natural ω n   , pela seguinte fórmula:

ξ = c 2 m ω n  

A questão nos fornece nessa letra, que c = 300   N ⋅ s / m . E susbtituindo os valores das outras variáveis:

ξ = 200   N ⋅ s / m 2 50   k g ( 2   r a d / s )

ξ = 1,5

Xiiii! Deu ruim! O nosso fator de amortecimento é maior que o 1 , portanto o movimento é superamortecido. De forma, que a nossa equação de posição tem a seguinte cara:

x = A 1 e λ 1 t + A 2 e λ 2 t

Só que uma vez que nosso A 1 é a posição inicial x 0   em que o corpo é liberado; usando proporção entre λ 1 e λ 2 , podemos reescrever A 1 e A 2 como:

A 1 = x 0 λ 2 λ 2 - λ 1 A 2 = x 0 λ 1 λ 1 - λ 2

E λ 1 e λ 2 nos são dadas pela seguinte fórmula:

λ 1.2 = ω n - ξ ± ξ 2 - 1

λ 1.2 = ( 2   r a d / s ) ⋅ - 1,5 ± ( 1,5 ) 2 - 1

Com isso obtemos dois valores para nosso λ , um máximo λ 1 e outro mínimo λ 2 :

λ 1 ≅ - 0,7639

λ 2 = - 5,326

Agora, só falta substituir os valores que já temos, inclusive o tempo t igual a 0,5   s , para a equação de posição x e com isso, achar nosso resultado:

x = x 0 λ 2 λ 2 - λ 1 e λ 1 t + x 0 λ 1 λ 1 - λ 2 e λ 2 t

x = 0,150   m - 5,326 - 5,326 - - 0,7639 e - 0,7639 ⋅ 0,5 + 0,150   m - 0,7639 - 0,7639 - - 5,326 e - 5,326 ⋅ 0,5   m

x ≅ 0,120   m

Resposta

(a) x ≅ 0,110   m  

(b) x ≅ 0,120   m  

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