Enunciado

44. O proprietário de uma caminhonete de 1660   k g testa a ação dos amortecedores traseiros aplicando uma força constante de 450   N ao para-choque traseiro e medindo um deslocamento estático de 75   m m . Após a retirada súbita da força, o para-choque sobe e em seguida desce até um máximo de 12   m m abaixo da posição de equilíbrio sem carregamento do para-choque, no primeiro retorno. Considere a ação como um problema unidimensional, com uma massa equivalente igual à metade da massa do caminhão. Determine o fator de amortecimento viscoso ξ para a extremidade traseira e o coeficiente de amortecimento viscoso c para cada amortecedor assumindo que sua ação é vertical.

Passo 1

A questão nos diz que o para-choque inicialmente tem um deslocamento estático de 75   m m e após a retirada súbita da força, sobe e em seguida desce até um máximo de 12   m m abaixo da posição de equilíbrio. Ou seja, temos duas amplitudes sucessivas e com isso, adivinha só o que vem por aí!?

Isso mesmo! Vamos tratar de obter o decrescimento logarítmico δ , através da velha e conhecida fórmula abaixo:

δ = ln ⁡ x 1 x 2  

Onde x 1 e x 2 são respectivamente 75   m m e 12   m m :

δ = ln ⁡ 75 12

δ ≅ 1,83

Passo 2

Agora, vamos tratar de obter o fator de amortecimento ξ   através da fórmula que o relaciona com o decrescimento logarítmico δ :

ξ = δ ( 2 π ) 2 + δ 2

ξ = 1,83 ( 2 π ) 2 + ( 1,83 ) 2

ξ ≅ 0,28

Passo 3

Depois devemos lembrar que o fator de amortecimento ξ é dado em função do coeficiente de amortecimento viscoso c e da frequência angular natural ω n   , pela seguinte fórmula:

ξ = c 2 m ω n  

E vamos tratar de obter a frequência natural ω n   , que está relacionada com a massa m e a constante elástica k por:

ω n   = k m

Para obter a massa, a questão nos diz para considerarmos apenas a metade da massa m c a m do caminhão. E como obviamente, ele tem dois amortecedores traseiros e dois dianteiros, a massa m do nosso cálculo é dada por:

m = 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 m c a m

m = 1 4 m c a m

m = 1 4 ⋅ ( 1660   k g )

m = 830   k g

Agora para obter a constante elástica k , basta usar a fórmula da força elástica F e l dada pelo produto da constante elástica k pela deformação x . A força, nós sabemos que é igual a 450   N e o deslocamento para essa força é de 75   m m . Com isso, partiu usar a fórmula:

F e l = k x

k = F e l x

k = 450   N 0,075   m

k = 6000   N / m

Em seguida, uma vez que já sabemos k e m , vamos obter a nossa frequência natural ω n   , que é dada por:

ω n   = 6000   N / m 830   k g

ω n   ≅ 2,69   m / s

Passo 4

Como já temos todos os valores que precisamos, vamos logo tratar de obter o nosso fator de amortecimento c ; para apenas um amortecedor, hein. Presta atenção que a nossa massa m , agora é de 415   k g , metade do valor que encontramos no P a s s o   3 .

ξ = c 2 m ω n  

c = 2 ξ m ω n  

c ≅ 2 0,28 415   k g ( 2,69   r a d / s )

c ≅ 1250   N ⋅ s m

Resposta

ξ ≅ 0,28

c ≅ 1250   N ⋅ s m

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