Enunciado

Os paleontólogos podem usar ondas sonoras para produzir uma imagem computadorizada do fóssil de um dinossauro incrustado na rocha. A imagem serve para guiar os paleontólogos durante a remoção do fóssil. (A técanica é mostrada nas cenas de abertura do filme Jurassic Park.) Para isso, um pulso sonoro de alta intensidade é emitido por uma fonte especial (um canhão sísmico) no nível do solo e detectado por hidrofones instalados em um poço a intervalos regulares. A fonte e um hidrofone são mostrados na figura. Se a onda sonora se propaga da fonte para o hidrofone apenas através da rocha, como na figura, ela viaja com uma velocidade V e leva um certo tempo T . Se, em vez disso, ela atravessa um osso fossilizado no caminho, leva um tempo ligeiramente maior, já que a velocidade de propagação no osso é menor do que na rocha. Medindo a diferença Δ t entre os tempos de percursos esperado e observado, a distância d percorrida no osso pode ser calculada. Depois que esse procedimento é repetido para muitas localizações da fonte e dos hidrofones, um computador pode transofmar as várias distâncias d calculadas em uma imagem do fóssi.

(a) Seja V - Δ V a velocidade do som no osso fossilizado, onde Δ V é muito menor que V . Mostre que a distância d é dada por:

d ≅ V 2 Δ t Δ V

(b) Para V = 5000   m / s e Δ V = 200   m / s , que valor típico de Δ t pode ser esperado se o som passar pelo diâmetro de um osso da perna de um T.rex adulto? (Estime o diâmetro do osso.)

Passo 1

Em um trecho em que a velocidade de uma onda é constante, podemos escrever o seguinte:

v = Δ s Δ t         ⇒         Δ t = Δ s v

No caso em que não aparece nenhum osso no meio do caminho, e a onda percorre o caminho L inteiro só com a mesma velocicdade V , o tempo de percurso é:

Δ t 1 = L V

No caso em que a onda percorre uma distância d ao longo do osso com velocidade V - Δ V , o tempo de percurso total é:

Δ t 2 = L - d V + d V - Δ V

Passo 2

(a) Então a diferença de tempo entre os dois caminhos é:

Δ t = Δ t 2 - Δ t 1

Δ t = L - d V + d V - Δ V - L V

Agora vamos tentar isolar d nessa equação:

Δ t = d V - Δ V - d V

Δ t = d V V V - Δ V - V - Δ V V V - Δ V

Δ t = d Δ V V V - Δ V

d = Δ t Δ V V 2 - V Δ V

d = Δ t V 2 Δ V - V

Como Δ V é muito menor do que V , podemos ter certeza de que o primeiro termo dentro do parênteses será muito maior do que o segundo, então podemos aproximar:

d = V 2 Δ t Δ V

Passo 3

(b) Vamos supôr que o osso tenha um diâmetro d = 15   c m = 0,15   m , então teríamos:

d = V 2 Δ t Δ V

0,15 = 5000 2 200 Δ t

Δ t = 1,2   .   10 - 6   s

Δ t = 1,2   μ s

Resposta

(a) Demonstração.

(b) O valor esperado para Δ t é de aproximadamente t = 1,2   μ s .

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