Enunciado

Uma partícula de masa m está suspensa do teto por uma mola de constante elática k e comprimento relaxado l 0 , cuja massa é desprezível. A partícula é solta em repouso, com a mola relaxada. Tomando o eixo O z orientado verticamente para baixo, com origem no teto, calcule a posição z da partícula em função do tempo.

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho do instante inicial, com a mola relaxada e a origem no teto:

Como estamos na vertical, temos duas forças agindo sobre a mola: a força peso, e a força elástica.

Vamos escrever isso usando a segunda lei de Newton:

∑ F = m g - k z = m a

O sinal negativo aparece por conta da lei de Hooke ( F e l = - k z ).

Passo 2

Como a aceleração é a segunda derivada da posição que no caso é representada pela coordenada z :

a = z ¨

Temos a seguinte equação diferencial:

m g - k z = m a

m a + k z = m g

Substituindo a aceleração:

m z ¨ + k z = m g

Dividindo todos os lados pelo valor da massa da partícula:

z ¨ + k m z = g

Essa é uma EDO não homogênea (porque temos aquela constante g sozinha do lado direito da equação).

O método pra resolver esse tipo de equação é: primeiro resolva como se a constante não estivesse lá. Depois coloque a constante de volta e tente chutar uma solução que funcione.

A solução geral é a soma dessas duas soluções!

Passo 3

Então vamos começar com a solução da equação homogênea, ou seja, vamos começar fingindo que g não está ali:

z ¨ + k m z = 0

Nesse caso temos a equação geral de um oscilador harmônico, que tem a seguinte solução:

z 1 t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Onde ω 2 = k / m :

z 1 t = A cos ⁡ k m t + ϕ

Passo 4

Agora vamos para a solução não homogênea:

z ¨ + k m z = g

Podemos chutar uma solução constante, ou seja,

z = C

Nesse caso teríamos que a segunda derivada é igual a zero:

z ¨ = 0

Então:

0 + k m C = g

Então nossa segunda solução é:

z 2 = C = m g k

Agora temos que juntar as duas:

z t = z 1 + z 2

z t = A cos ⁡ k m t + ϕ + m g k

Passo 5

Beleza, achamos a solução geral, agora temos que impor as condições iniciais.

O enunciado diz que a partícula é solta em repouso, isso quer dizer que a velocidade inicial é igual a zero, e como sabemos que a velocidade é igual a primeira derivada da posição z em relação ao tempo:

v =   z ˙

v 0 = 0

Logo:

z ˙ 0 = 0

Ou seja, a velocidade inicial é zero. Vamos derivar a nossa função z ( t ) :

z ˙ t = d d t   A cos ⁡ k m t + ϕ + m g k

z ˙ ( t ) = - A k m sen ⁡ k m t + ϕ

E quando t = 0 , temos:

z ˙ 0 = - A ω sen ⁡ ϕ = 0

Para satisfazer essa equação, vamos definir que ϕ = 0 , já que sen ⁡ ( 0 ) = 0 .

Então por enquanto temos o seguinte:

z t = A cos ⁡ k m t + m g k

Passo 6

Outra informação que temos é que a partícula parte da posição z = l 0 , ou seja:

z 0 = l 0

Substituindo na nossa função, ficamos com:

z 0 = l 0 = A cos ⁡ k m 0 + m g k

z 0 = l 0 = A cos ⁡ 0 + m g k

Como o cosseno de 0 é igual a 1:

l 0 = A . 1 + m g k

A = l 0 - m g k

Então:

z t = l 0 - m g k cos ⁡ k m t + m g k

z t = l 0 cos ⁡ k m t + m g k 1 - cos ⁡ k m t

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é

z t = l 0 cos ⁡ k m t + m g k 1 - cos ⁡ k m t

.

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