Enunciado

Um bloco de massa M capaz de deslizar com atrito desprezível sobre um trilho por uma mola de masa desprezível e constante elástica k , inicialmente relaxada. Uma bolinha de chiclete de massa m , lançada em direção ao bloco com velocidade horizontal v , atinge-o no instante t = 0 e fica grudada nele (Figura). Ache a expressão do deslocamento do sistema para t > 0 .

Passo 1

Vamos começar com o mais simples. Pela lei de Hooke, a força que a mola faz sobre o conjunto é:

F = - k x

Já que essa é a única força agindo, podemos escrever o seguinte usando a segunda lei de Newton:

M + m a = - k x

Onde ( M + m ) é a massa total do conjunto, já que o chiclete fica grudado no bloco. Vamos fazer a = x ¨ e reorganizar um pouco:

M + m x ¨ + k x = 0

x ¨ + k M + m x = 0

Essa é a equação de um oscilador harmônico! Vamos lembrar da forma geral dessa EDO:

x ¨ + ω 2 x = 0

Que tem como solução geral:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

E comparando com a nossa equação, sabemos que o ω é:

ω = k M + m

Passo 2

Beleza, agora falta determinar os valores de A e ϕ . Para fazer isso vamos precisar de condições iniciais.

Começando pela posição. Se a gente chamar de x = 0 a posição inicial do bloco, podemos dizer que:

x 0 = 0

Então:

x 0 = A cos ⁡ ω 0 + ϕ = 0

A cos ⁡ ϕ = 0

Não faz sentido ter A = 0 , porque aí x ( t ) seria sempre nula! Mas como cos ⁡ π 2 = 0 , podemos dizer que:

cos ⁡ ϕ = π 2

Ótimo, então por enquanto temos o seguinte:

x t = A cos ⁡ ω t + π 2

Passo 3

Já usamos a condição para a posição inicial, agora vamos usar para a velocidade inicial.

Podemos calcular o valor da velocidade inicial usando conservação de momento linear:

p i n i c i a l = p f i n a l

Inicialmente só o chiclete de massa m se movia, e com velocidade v . Logo depois da colisão, o conjunto se move junto com velocidade inicial v 0 :

m v = M + m v 0

v 0 = m M + m v

Ok, então a nossa segunda condição inicial é:

x ˙ 0 = v 0 = m M + m v

Passo 4

Agora vamos aplicar essa condição inicial. Primeiro temos que derivar x ( t ) para encontrar a velocidade em função do tempo:

v = x ˙ t = d d t A cos ⁡ ω t + π 2

v = - A ω sen ⁡ ω t + π 2

E no instante inicial ( t = 0 ), temos:

v 0 = - A ω sen ⁡ π 2 = - A ω

Então:

- A ω = m M + m v

E com isso podemos encontrar o valor de A :

A = - v ω m M + m

E então nossa função é:

x t = - v ω m M + m cos ⁡ ω t + π 2

Mas cos ⁡ ω t + π 2 = - sen ⁡ ( ω t ) , então:

x t = v ω m M + m sen ⁡ ω t

Resposta

Para t > 0 o deslocamento do sistema é x t = v ω m M + m sen ⁡ ω t .

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