Enunciado

Uma partícula de massa m e carga q entra em uma região onde há um campo magnético uniforme B → paralelo ao eixo x . A velocidade inicial da partícula é v → = v 0 x î + v 0 y j e, portanto, a partícula desenvolve um movimento helicoidal.

( a ) Mostre que o raio da hélice é r   = m v 0 y q B .

( b ) Mostre que a partícula leva um tempo Δ t = 2 π m q B para completar cada volta da hélice.

( c ) Qual é a componente x do deslocamento da partícula durante o tempo obtido na Parte ( b ) ?

Passo 1

E aí bonit@s, como vocês estão? Preparados pra mais uma questão maneira?

Se liga só, a questão traz umas fórmulas e pede pra gente demonstrar elas. Pois bem, para essa questão podemos usar F → = q v → × B → para mostrar que o movimento da partícula na direção x não é afetado pelo campo magnético. A aplicação da segunda lei de Newton ao movimento da partícula no plano y z nos levará ao resultado de que r   =   m v 0 y / q B . Expressando o período do movimento em termos de v 0 y , podemos mostrar que o tempo para uma órbita completa em torno da hélice é t = 2 π m / q B .

Passo 2

Olha só como agora ficou fácil, vem comigo!Expressando a força magnética que age na partícula temos

F → = q v → × B →

Substituindo v → que foi dado no enunciado encontramos

F → = q v 0 x î + v 0 y j ^ × B → î

F → = q v 0 x B ⋅ î × î + q v o y ⋅ j ^ × î

F → = 0 - q v o y B k ^ = - q v o y B k ^

Isso nos indica que o movimento na direção do campo magnético (a direção x ) é não afetado pelo campo. Aplicando a segunda lei de Newton para um plano perpendicular ao î , ou seja, vamos aplicar ao plano y z , obtendo então:

q v o y B = m ⋅ v o y 2 r       i

Isolando r vamos encontrar

r = m v o y q B

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Me acompanhe agora que nós vamos relacionar o tempo para dar uma volta em torno de uma hélice com a velocidade orbital da partícula fazendo o seguinte

∆ t = 2 π r v o y

Do item anterior, na equação i podemos isolar v o y e encontrar seu valor que é dado por

v o y = q B r m

Substituindo na equação anterior teremos

∆ t = 2 π r q B r m = 2 π m q B

Como queríamos demonstrar.

Passo 4

Agora é só partir pro abraço porque o problema está praticamente resolvido, mas vamos fechar com chave de ouro. como foi mostrado no item ( a ) , o movimento na direção do campo magnético (a direção x ) não é afetado pelo campo, o componente x do deslocamento da partícula em função de t é:

x t = v 0 x t

Para t = ∆ t teremos

x ∆ t = v o x ⋅ 2 π m q B

E voilà, tá resolvido nosso problema sem muita complicação.

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o

b D e m o n s t r a ç ã o

c x ∆ t = v o x ⋅ 2 π m q B

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