Enunciado

Uma partícula de massa m move-se em uma dimensão com energia potencial U(x) representada pela curva da Fig.( as beiradas abruptas são idealizações de um potencial rapidamente variável. Inicialmente a partícula está dento do “poço de potencial” ( região entre x 1   e   x 2 ) com energia E tal que V 0 < E < V 1 . Mostre que o movimento subsequente será periódico e calcule o período.

Passo 1

A energia mecânica da partícula é dada por

E = U x + m v 2 2

Isolando a velocidade,

v = ± 2 m E - U x

Integrando os dois lados em relação ao tempo temos

∫ v d t = ∫ 2 m E - U x d t

x = ±   t 2 m E - U x + C

Para que haja solução para essa equação devemos ter sempre E ≥ U ( x ) . Como nossa energia mecânica do problema está definida como V 0 < E < V 1 o corpo sempre irá assumir posições cujo potencial é menor que V 1 . Para atingir outras posições fora de   V 0 em que o potencial é menor que a energia mecânica, seria necessário um trabalho externo a fim de superar a barreira de potencial V 1 . Se isso não acontece o corpo oscila entre x 1   e   x 2 .

Passo 2

Como a distância a ser percorrida para retornar ao mesmo ponto do sistema é de 2 l , nosso período se torna Δ s Δ t uma vez que a força resultante no corpo é 0 (potencial constante).

T = 2 l v

= 2 l 2 m E - V 0

Resposta

T = 2 l 2 m E - V 0

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