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Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman - Capítulo 3.Problemas - Ex. 77

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Uma partícula se move em um plano x,y. Suas coordenadas são dadas em função do tempo por

x t = R ω t - s e n ω t         y t = R ( 1 - c o s ω t )

onde R e ω são constantes.

a) Faça um esboço da trajetória da partícula. (Essa curva é a trajetória de um ponto que se desloca na periferia de uma roda que rola com velocidade escalar constante numa superfície horizontal. A curva traçada por esse ponto enquanto ele se move no espaço denomina-se ciclóide.)

b) Determine os componentes da velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo t.

c) Para que instantes a partícula está momentaneamente em repouso? Quais são as coordenadas da partícula nesses instantes? Determine o vetor aceleração.

d) O módulo da aceleração é função do tempo? Compare com o movimento circular uniforme.

Passo 1

Essa trajetória é periódica, então precisamos determinar alguns pontos.

Sabemos que as funções seno e cosseno tem seus valores entre ± 1 , no entanto, quando um é máximo/mínimo, o outro é zero.

Em t = 0 :

x 0 = R ω . 0 - s e n ω . 0 = 0

y 0 = R 1 - c o s ω . 0 = R 1 - 1 = 0

Em t = π / ω :

x π ω = R ω π ω - s e n ω π ω = π R

y π ω = R 1 - c o s ω π ω = R 1 - - 1 = 2 R  

Em t = 2 π / ω :

x 2 π ω = R ω 2 π ω - s e n ω 2 π ω = 2 π R

y 2 π ω = R 1 - c o s ω 2 π ω = R 1 - + 1 = 0  

Em t = 4 π / ω :

x 4 π ω = R ω 4 π ω - s e n ω 4 π ω = 4 π R

y 4 π ω = R 1 - c o s ω 4 π ω = R 1 - + 1 = 0  

Juntando todas essas informações e com a ajuda de um gerador gráfico podemos esboçar o gráfico x   v e r s u s   y :

Passo 2

A velocidade é a derivada temporal da posição. Como temos as expressões para as posições x ( t ) e y ( t ) , é só derivar essas duas e encontrar v x ( t ) e v y ( t ) respectivamente.

v x = d x t d t = d d t R ω t - s e n ω t = R ω - R ω c o s ω t = R ω ( 1 - c o s ω t )

v y = d y t d t = d d t R 1 - c o s ω t = R ω s e n ω t

Passo 3

E a aceleração é a derivada temporal da velocidade. No passo anterior calculamos as componentes da velocidade, e a partir delas podemos calcular as componentes da aceleração.

a x = d v x d t = d d t R ω 1 - c o s ω t = R ω 2 s e n ω t

a y = d v y d t = d d t R ω s e n ω t = R ω 2 c o s ω t

Passo 4

A partícula está momentaneamente em repouso quando sua velocidade é zero:

v x = v y = 0

Das equações temos:

R ω 1 - c o s ω t = 0

c o s ω t = 1

Ou

R ω s e n ω t = 0

Ou seja, quando t for:

t = 0 , 2 π ω , 4 π ω

Ou seja, nas posições:

x = 0,2 π R ,   4 π R … y = 0

E o vetor aceleração no primeiro instante que isso acontece, ou seja, em t = 0 é:

a x 0 = R ω 2 s e n ω . 0 = 0

a y 0 = R ω 2 c o s ω . 0 = R ω 2

Vertical para cima:

a → = R ω 2   j →

Passo 5

O módulo da aceleração vai ser dado pela raiz da soma do quadrado das componentes:

a → = a x 2 + a y 2

Como na letra b ) calculamos as componentes (passo 3 ) vamos resgatar de lá a expressão para a x e a y e substituir ali em cima no módulo de a → :

a → R ω 2 s e n ω t 2 + R ω 2 c o s ω t 2 = R 2 ω 4 ( s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t )

E lembrando da relação trigonométrica fundamental s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 , então temos o módulo da aceleração:

a → = R 2 ω 4 = R ω 2

Que é a mesma aceleração do movimento circular uniforme e independe do tempo.

Resposta

a )

b ) v x = R ω ( 1 - c o s ω t )

v y = R ω s e n ω t

a x = R ω 2 s e n ω t

a y = R ω 2 c o s ω t

c ) t = 0 , 2 π ω , 4 π ω

a → = R ω 2   j →

d ) a → = R ω 2

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