Enunciado

Quando uma partícula em movimento que tem uma energia cinética maior do que o limiar de energia cinética Kth atinge uma partícula alvo estacionária, uma ou mais partículas podem ser criadas na colisão inelástica. Mostre que o limiar de energia cinética da partícula em movimento é dado por.

Aqui Σmin é a soma das massas das partículas antes da colisão, Σmfin é a soma das massas das partículas após a colisão e mtarget é a massa da partícula alvo. Use esta expressão para determinar o limiar de energia cinética de prótons incidente em um alvo de próton estacionário para a produção de um par próton-antipróton; compare seu resultado com o resultado do Problema 38.

Passo 1

Opa, tudo bem? Mais uma questãozinha de prova!

Vamos colocar m i como a massa da partícula incidente (projétil). Então ∑ m i n = m i + m a l v o e podemos usar esta expressão para determinar o energia cinética limite dos prótons incidentes em um alvo de próton estacionário para a produção de um par próton-antipróton.

Passo 2

Vamos lá! Vamos pegar a situação no referencial do centro de massa. No limite, temos:

E 2 - p 2 c 2 = ∑ m f c 2

No referencial do laboratório, o alvo está em repouso:

E a l v o = E a = E a , 0

Então, podemos escrever:

E i + E a , 0 2 - p i 2 c 2 = ∑ m f c 2 2

Passo 3

Para a partícula incidente:

E i 2 - p i 2 c 2 = E i , 0 2

E:

E i = E i , 0 + K l

Onde é a energia cinética limite da partícula incidente na estrutura do laboratório, que pode ser escrita em termo das energias de repouso:

E a , 0 + E i , 0 2 + 2 K l E a , 0 = ∑ m f c 2 2

Onde:

∑ m i c 2 = E a , 0 + E i , 0

E:

E a , 0 = m a l v o c 2

Substituindo isso:

∑ m i c 2 2 + 2 K l m a l v o c 2 = ∑ m f c 2 2

Isolando K l :

2 K l m a l v o c 2 = ∑ m f c 2 2 - ∑ m i c 2 2

Opa, esse cara da direita é um produto notável do produto da soma pela diferença:

2 K l m a l v o c 2 = ∑ m f c 2 - ∑ m i c 2 ∑ m f c 2 + ∑ m i c 2

Podemos colocar c 2 em evidência em cada parênteses:

K l = ∑ m f - ∑ m i ∑ m f + ∑ m i c 4 2 m a l v o c 2

K l = ∑ m f - ∑ m i ∑ m f + ∑ m i c 2 2 m a l v o

Opa, chegamos na prova!

Passo 4

Para uma criação de próton-antipróton numa colisão entre 2 prótons:

∑ m i = 2 m p

∑ m f = 4 m p

E:

m a l v o = m p

Assim:

K l = 4 m p - 2 m p 4 m p + 2 m p c 2 2 m p

K l = 2 m p 6 m p c 2 2 m p

K l = 6 m p c 2

O que vai de acordo com o problema 38!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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