Enunciado

Partindo do repouso, uma força constante F = 100   N é aplicada à extremidade livre de um cabo de 50   m enrolado em volta da borda externa de um cilindro maciço e uniforme, semelhante ao da situação indicada na Figura 10.9a. O cilindro possui massa de 4,0   k g e diâmetro de 30,0   c m e está livre para girar em torno de um eixo fixo e livre de atrito que passa pelo seu centro.

a) Quanto tempo leva para que todo o cabo se desenrole e com que velocidade o cabo está se movendo quando a última parte se liberta?

b) Agora, suponha que o cilindro seja substituído por um aro uniforme, mas que todas as demais grandezas permaneçam inalteradas. Nesse caso, as respostas ao item (a) seriam maiores ou menores? Explique.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos diz que uma força constante F = 100   N , que parte do repouso, é aplicada à extremidade livre de um cabo de 50   m enrolado em volta da borda externa de um cilindro maciço e uniforme, como mostra abaixo a figura:

Queremos calcular o tempo que leva para que todo o cabo se desenrole e com que velocidade o cabo está se movendo quando a última parte se liberta.

Em seguida, devemos fazer a mesma coisa, mas supondo agora que o cilindro seja substituído por um aro uniforme, mas que todas as demais grandezas permaneçam inalteradas.

Para isso, temos que saber que:

τ = I α

Onde τ é o torque, α é a aceleração angular e I é o momento de inércia.

Passo 2

  1. Então nessa questão você tem que se ligar que essa força F = 100   N puxa o fio e com isso ele vai desenrolando. Então vamos relembrar as fórmulas para o torque, a primeira é dada como:

τ = I α

Ou seja, o produto entre o momento de inércia I e a aceleração angular α .

A outra fórmula para o torque é dada por:

τ = R × F

Isto é, o produto vetorial do raio perpendicular R pela força aplicada F . Sabendo disso, podemos igualar as duas expressões, de forma que;

R × F = I α

Sendo α = a R , e o momento de inércia do cilindro dado por I = M R 2 / 2 , teremos que:

R × F = 1 2 M R 2 a R

Repara que os R se anulam, então:

F = 1 2 M a

Passo 3

Agora podemos encontrar a aceleração linear a do cilindro e da corda, tal que:

a = 2 F M

Substituindo os valores que obtemos, vamos descobrir que:

a = 2 100   N 4   kg

a = 50  m/ s 2

Passo 4

E agora pra descobrir o tempo gasto, podemos usar a equação horaria, dada como:

x - x 0 = v 0 t + a 2 t 2

Como v 0 = 0 , então...

50 = 50 2 t 2

Logo:

t 2 = 50 25

t = 1,41   s

Então, para a velocidade teremos,

v = v 0 + a t

De forma que:

v = 50 × 1,41

v = 70,5   m/s

Passo 5

Vamos supor que o momento de inércia seja o momento de inércia de um aro uniforme, ou seja,

I = M R 2

Como o momento de inércia é maior do que o anterior, a aceleração no aro será menor.

Se essa aceleração é menor, o aro se soltará do cabo com uma velocidade menor que a anterior e levará um tempo maior pra realizar esse movimento.

Vamos ver se é isso mesmo?

A equação do torque ficaria

τ = I α

F R = M R 2 a R

a = F M

Passo 6

Comparando com o passo 2, vemos que a aceleração reduziu a metade, ou seja, a = 25   m/ s 2

No passo 3, escrevemos que

x = a 2 t 2

t 2 = 2 x a

Logo:

t = 2 x a

t = 2 ⋅ 50 25

t = 2   s

E a velocidade seria:

v = a t

v = 25 ⋅ 2

v = 50   m/s

Resposta

a) t = 1,41   s e v = 70,5   m/s .

b) O tempo agora seria t = 2   s e v = 50   m/s

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