Enunciado

Um pedacinho de rocha está preso a uma roda de bicicleta de 60,0   c m de diâmetro e possui uma velocidade tangencial de 3,00   m / s . Quando os freios são acionados, a desaceleração tangencial da pedrinha é de 1,00   m / s 2 .

a. Quais são os módulos da velocidade e da aceleração angulares em t = 1,5   s ?

b. Em que instante o módulo da aceleração da pedra é igual a g ?

Passo 1

a) Bom, o enunciado deu para a gente a desaceleração tangencial, como ela se mantém a mesma durante todo o movimento, podemos usar a equação:

a t = α r

Para encontrarmos a aceleração angular em qualquer instante. Substituindo a desaceleração dada no enunciado e o raio da roda:

α = a t r = - 1,00   m / s 2 0,60   m = - 1,67   s - 2

Esse vai ser o valor do módulo da aceleração angular.

Passo 2

Para o módulo da velocidade, vamos aproveitar o que calculamos no passo 1 usando uma das equação de cinemática angular:

ω f = ω i + α t

A velocidade angular inicial a gente pode encontrar usando o valor da velocidade linear dada no enunciado:

v i = ω i r

Substituindo esse valor e o raio da roda:

ω i = v i r = 3,00   m / s 0,60   m = 5,00   s - 1

Agora podemos substituir todos os valores na equação de cinemática:

ω f = 5,00   s - 1 + ( - 1,67   s - 2 ) ( 1,5   s )

ω f = 2,50   s - 1

E esse vai ser o módulo da velocidade angular no instante t = 1,5   s .

Passo 3

b) Nesse caso a questão pede o instante para o caso em que o módulo da aceleração é igual a g . Essa aceleração é a aceleração total do movimento, ou seja, a soma do vetor de aceleração tangencial com o de aceleração radial (ou centrípeta):

a → = a t → + a r →

Mas como só sabemos o valor dos módulos, vamos tirar o módulo de a → :

a = a t 2 + a r 2

A aceleração tangencial é dada, e a aceleração radial a gente pode substituir pela equação:

a r = v 2 r

Fica:

a = a t 2 + v 2 r 2

Substituindo a por g que é a condição que o enunciado fala:

g = a t 2 + v 2 r 2

Isolamos v :

v = r g 2 - a t 2

Passo 4

Essa velocidade é a velocidade final do nosso movimento, usando a relação de velocidade linear e angular:

v = ω r

A equação de cinemática angular pode ser escrita como:

v f r = v i r + α t

Substituindo a velocidade final:

r g 2 - a t 2 r = v i r + α t

Isolando t :

t = r g 2 - a t 2 - v i α r

E substituindo todos os valores, já que α calculamos e o resto é dado:

t = 0,60   m ( 9,8   m / s 2 ) 2 - ( 1,00   m / s 2 ) 2 - 3,00   m / s - 1,67   s - 2 ( 0,60   m )

t = 0,58   s

Esse será o instante que a questão pede.

Resposta

a )   ω f = 2,50   s - 1

α = - 1,67   s - 2

b )   t = 0,58   s

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