Enunciado

Uma pedra grande, pesando 164,0 N, é suspensa pela extremidade inferior de um fio fino com 3,00 m de extensão. A densidade da pedra é de 3.200 kg/m3. A massa do fio é pequena o suficiente para que seu efeito sobre a tensão no fio possa ser desprezado. A extremidade superior do fio é mantida fixa. Quando a pedra está no ar, a frequência fundamental para as ondas estacionárias transversais no fio é de 42,0 Hz. Quando a pedra é totalmente submersa em um líquido, com seu topo logo abaixo da superfície, a frequência fundamental para o fio é de 28,0 Hz. Qual é a densidade do líquido?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver este exercício, precisaremos unir nossos conhecimentos de ondas estacionárias com noções de mecânica dos fluidos, em particular a ideia de Empuxo, que é dado pela seguinte formula:

E = ρ V g

Passo 2

Primeiramente, vamos utilizar a informação sobre o peso, e a densidade da pedra para obtermos o volume dela. Para tal basta usar a segunda lei de Newton e lembrar que massa é o produto da densidade volumétrica pelo volume:

P = m g = ρ p V p g g

Isolando V p

V p = P ρ p g = 164 3200 9,81

V p = 5,224 × 10 - 3   m 3

Passo 3

Agora precisamos descobrir a densidade linear da corda, para isso vamos usar a informação sobre a frequência fundamental da corda quando a pedra está fora do líquido. Inicialmente vamos pegar a equação da frequência fundamental e isolar a velocidade. Vamos fazer este processo tanto para a velocidade antes do liquido quanto para a velocidade depois, já que iremos utilizar a ultima mais para frente.

Antes:

f a n t e s = v a n t e s 2 L

v a n t e s = 2 L f a n t e s = 2 3 42

v a n t e s = 252   m / s

Depois:

f d e p o i s = v d e p o i s 2 L

v d e p o i s = 2 L f d e p o i s = 2 3 28

v d e p o i s = 168   m / s

Passo 4

Basta substituir o valor da velocidade encontrada e a tensão, que aqui será igual ao peso, na equação da velocidade de propagação da onda após isolar a densidade linear:

v a n t e s = P μ

μ = P v a n t e s 2 = 164 252 2

μ = 2,58 × 10 - 3   k g / m

Passo 5

Agora, juntando a densidade linear com a velocidade de propagação da onda na corda após colocar a pedra no liquido, podemos, junto com a equação da velocidade de propagação da onda, calcular a tensão que será aplicada na corda após a imersão da pedra.

μ = P v d e p o i s 2 = 164 168 2

μ = 72,8   N

Passo 6

Finalmente, podemos tomar a tensão encontrada como a força resultante da diferença entre o peso e a força de empuxo causada pelo liquido, tendo que o volume de liquido deslocado é igual ao volume da pedra, que também já obtivemos. Portanto, equacionando os valores que obtivemos com a segunda lei de Newton e isolando a densidade do liquido vamos ter que:

T = P - E = P - ρ L V p g

P - T = ρ L V p g

Isolando ρ L

ρ L = P - T V p g = 164 - 72,8 0,0051 9,81

ρ L = 1788   k g / m 3

Resposta

Portanto, a densidade do liquido é ρ L = 1788   k g / m 3 .

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