Enunciado

Uma pedra, largada de um penhasco, cobre um terço da distância total ao solo no último segundo de queda. A resistência do ar é desprezível. Qual é a altura do penhasco?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Sendo H a altura do penhasco e t f o instante final, isto é, o instante em que a pedra alcança o chão, podemos descrever esses três instantes do movimento:

Atenção nesse instante do meio, ok? Como o enunciado falou sobre o último segundo de queda, a gente vai representar ele por:

t = t f - 1

Afinal, se demorar uns 10 segundos pra isso tudo acontecer, a último segundo não seria o 9 ? Então taí uma forma de representar o último segundo:

9 = 10 - 1

Show, dái em diante galera, é só a gente usar nossa querida fórmulinha de Torricelli:

V 2 = V 0 2 + 2 a ∆ y

V 2 = V 0 2 + 2 a y - y 0

Onde:

  • V Velocidade final
  • V 0 Velocidade inicial
  • a Aceleração
  • y Posição final
  • y 0 Posição inicial

Bora então?

Passo 2

Bem galera, vamos usar os dois primeiros instantes então. Vamos ter:

E isso é uma boa ideia porque como a bola sabe do repouso, sabemos a velocidade inicial dela entre esses dois intervalos:

V 0 = 0

Já facilita a nossa vida, né não? Outros valores que vamos usar em Torricelli pra esses momentos são:

  • V = - V 1
  • a = - g
  • y = H 3
  • y 0 = H
  • Importante aqui ver que a velocidade e a aceleração são negativas porque apontam pra baixo! Juntando tudo na equação, temos:

    V 2 = V 0 2 + 2 a y - y 0

    - V 1 2 = 0 2 - 2 g H 3 - H

    - V 1 2 = - 2 g H 3 - 3 H 3

    - V 1 2 = - 2 g - 2 H 3

    - V 1 2 = 4 g H 3

    V 1 = - 4 g H 3

    Agora vamos usar a mesma ideia, mas considerando esses dois instantes:

    Vamos ter:

  • V = - V 2
  • V 0 = 0
  • a = - g
  • y = 0
  • y 0 = H

E a fórmula fica:

V 2 = V 0 2 + 2 a y - y 0

- V 2 2 = 0 2 - 2 g 0 - H

- V 2 2 = - 2 g - H

- V 2 2 = 2 g H

V 2 = - 2 g H

Passo 3

Show galera, parece que ainda não chegamos lá né, mas calma que vai dar bom! Vamos olhar esses dois instantes:

Daqui a gente sabe uma coisa importantíssima: quanto tempo o movimento durou! A da esquerda não é o último segundo e a da direita não é o instante final? Sendo assim:

∆ t

E considerando que a aceleração da bolinha nesses instantes vai ser:

a = ∆ V ∆ t

- g = ∆ V

Pra gente fechar com chave de ouro, basta a gente pegar a expressão de ∆ V , que na verdade foi o que encontramos no passo anterior! Pro instante inicial nessa referência, temos:

V 0 = V 1 = - 4 g H 3

E pro instante final nessa referência:

V = V 2 = - 2 g H

Ficamos então com:

- g = ∆ V

- g = V - V 0

- g = V 2 - V 1

- g = - 2 g H + 4 g H 3

- g = - 2 g H + 2 3 ∙ 2 g H

- g = - 2 g H + 2 3 ∙ 2 g H

- g = - 2 g H ∙ 1 - 2 3

Elevando os dois lados da última equação ao quadrado, temos:

g 2 = 2 g H ∙ 1 - 2 3 2

H = g 2 2 ∙ g ∙ 1 - 2 3 2

H = g 2 ∙ 1 - 2 3 2

Pô galera, g é a aceleração da gravidade! Um número conhecido! Sendo, aproximadamente:

  • g ≅ 9,81   m / s 2
  • 2 3 ≅ 0,82

Temos:

H = 9,81 2 ∙ 1 - 0,82 2

H = 4,905 0,18 2

H = 4,905 0,18 2

H = 4,905 0,0324

H ≅ 151   m

Passo 4

Esse passo aqui é só uma observação galera, na verdade já fechamos a questão! Olha só, daria pra fazer essa questão também usando a fórmula:

y = y 0 + V 0 t + a t 2 2

Nesse caso, a estratégia seria comparar o primeiro e o segundo instantes pra achar uma equação e o primeiro e terceiro pra achar uma outra equação, ambas em função de H e t f . Essa estratégia faria a gente achar o valor numérico de t f e, substituindo ele em uma das equações, acharíamos o valor de H ! Só pro caso de você ter feito assim, o que também ta super valendo, as equações seriam:

2 H 3 = g t f - 1 2 2

H = g t f 2 2

E o valor de t f encontrado seria:

t f = 3 + 6       s e g u n d o s

Resposta

H ≅ 151   m

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