Enunciado

Um rifle que atira balas a 460   m / s é apontado para um alvo situado a 45,7   m de distância. Se o centro do alvo está na mesma altura do rifle, para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala atinja o centro do alvo?

Passo 1

Então galera, o movimento como um todo pode ser dividido em movimento uniforme em relação ao eixo x e movimento uniformemente variado em relação ao eixo y , pois se trata de um lançamento oblíquo, show? Dêem uma olhada na figura que exemplifica o problema :

A primeira coisa que devemos fazer, portanto , é calcular a velocidade inicial em função de θ em relação aos dois eixos:

v 0 x = v 0 ⋅ cos ⁡ θ

v 0 x = 46 0   m/s ⋅ cos ⁡ θ

E:

v 0 y = v o ⋅ sen ⁡ θ

v 0 y = 460   m/s ⋅ sen ⁡ θ

Além disso, podemos tirar que o deslocamento na horizontal d é dado como:

d = v 0 x t

d = v 0 ⋅ cos ⁡ θ t

Logo, o tempo t que a bala disparada leva para atingir o alvo é:

t = d v 0 ⋅ cos ⁡ θ

Passo 2

Em relação ao eixo vertical, por sua vez, temos que:

s = s 0 + v 0 y t + a t 2 2

Para saber o tempo que ela demora para antigir o alvo, temos que saber o tempo que ela demora para chegar em s = 0 e, como parte da mesma altura, temos que s 0 = 0 . Além disso, vamos substituir a = - g , pois a aceleração aponta para baixo e v 0 y que achamos ali em cima:

0 = v 0 sen ⁡ θ t - g t 2 2

Tal que:

g t 2 2 = v 0 sen ⁡ θ t

g 2 t = v 0 sen ⁡ θ

Substituindo t que achamos no passo anterior:

g 2 d v 0 ⋅ cos ⁡ θ = v 0 sen ⁡ θ

2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = g ⋅ d v 0 2

Usando a relação 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ , obtemos que:

sen ⁡ 2 θ = g ⋅ d v 0 2

θ = 1 2 arcsen ⁡ g ⋅ d v 0 2

Portanto, subsituindo os valores:

θ = 1 2 arcsen ⁡ 9,8 ⋅ 45,7 460 2

Obtemos assim que:

θ = 0,0606 °

Passo 3

Para atingir o centro do alvo, o rifle deve visar um ponto a uma altura l acima do alvo tal que:

tan ⁡ θ = l d

Ou seja, vamos formar o triângulo retângulo em que os catetos são d e l . Assim:

l = d ⋅ tan ⁡ θ

Subsituindo os valores:

l = 45,7   m ⋅ tan ⁡ 0,0606 °

l = 0,0484   m

l = 4,84   cm

Resposta

l = 4,84   cm

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