Enunciado

Um pêndulo consiste de uma corda de comprimento L e uma bolinha de massa m . A molinha é rotacionada até que a bola esteja na horizontal. A bolinha é então projetada para baixo com a rapidez inicial mínima necessária para permitir que faça uma revolução completa no plano vertical. (a) Qual é a energia cinética máxima da bolinha? (b) Qual é a tensão na corda quanto a energia cinética é máxima?

Passo 1

(a) Vamos representar a situação com um desenho:

Quando a bolinha está no topo da trajetória, a força peso cumpre o papel de resultante centrípeta que mantém o movimento, e podemos usar isso para calcular a rapidez da bolinha nesse momento:

P = F c

m g = m v t o p o 2 r

E nesse caso r = L , então:

v t o p o 2 = g L

E como podemos usar isso para encontrar a energia cinética máxima da bolinha? Nós sabemos que esse máximo acontece no ponto mais baixo da trajetória, então vamos aplicar a conservação de energia para comparar esse ponto com o topo:

U t o p o + K t o p o = U b a i x o + K b a i x o

E supondo que a energia potencial é nula no ponto mais baixo:

U t o p o + K t o p o = K b a i x o

Agora é só substituir com as expressões para as energias cinética e potencial:

K b a i x o = m v t o p o 2 2 + m g ( 2 L )

K b a i x o = m ( g L ) 2 + m g 2 L = 5 2 m g L

Passo 2

(b) Nós sabemos a energia cinética nesse instante em que ela é máxima, e podemos usar isso para calcular a rapidez nesse momento:

K b a i x o = m v b a i x o 2 2

5 2 m g L = m v b a i x o 2 2

v b a i x o 2 = 5 g L

E com isso podemos calcular a resultante centrípeta sobre a bolinha nesse instante:

∑ F c = m v b a i x o 2 L

∑ F c = m 5 g L L = 5 m g

Mas nesse instante só existem duas forças atuando na direção centrípeta, a tensão T na corda e o peso P da bolinha, então:

∑ F c = T - P = 5 m g

T = 5 m g + P

T = 5 m g + m g = 6 m g

Resposta

(a) A energia cinética máxima é 5 2 m g L .

(b) A tensão na corda nesse ponto é 6 m g .

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