Enunciado

Um pêndulo está suspenso a partir do teto e preso a uma mola fixada no chão diretamente abaixo do suporte do pêndulo (veja a figura). A massa da bolinha do pêndulo é m , o comprimento do pêndulo é L , e a constante de força é k . O comprimento da mola frouxa é L / 2 e a distância entre o chaõ e o teto é 1,5   L . O pêndulo é puxado para o lado de forma a fazer um ângulo θ com a vertical e então é solto a partir do repouso. Obtenha uma expressão para a rapidez da bolinha do pêndulo conforme ela passa por um ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo.

Passo 1

Oláaaa, querido! Cê tá bem? Então, essa figura do enunciado é meio feinha né? Ela me assustou. Mas fica tranquilo, vamos começar entendendo o que está acontecendo e fazendo uma figura só nossa.

Primeiro, temos uma bolinha presa na corda de comprimento L e presa na mola frouxa de comprimento L / 2 . Algo assim:

Vamos dizer que nosso referencial de altura é essa posição inicial da bolinha.

Depois alguém vai lá e puxa essa bolinha fazendo com que a corda faça um ângulo θ com a vertical. Isso causa um esticamento na mola, que agora vai ter uma deformação x :

O nosso referencial não saiu do lugar, mas agora a mola e a cordinha estão inclinadas. E a mola recebe um aumento de x no seu comprimento porque fica esticada.

E o que ele quer? Ele quer a rapidez da bolinha quando ela volta aquela posição inicial onde a mola está frouxa se a gente a soltar dessa última posição.

Mas como a gente acha esse v ? Cara, como temos como dados as altura do elementos em alguns momentos, temos uma mola e queremos v , é uma boa a gente usar a conservação de energia mecânica.

Bora começar!

Passo 2

De forma geral, a energia mecânica de um objeto é a soma da energia potencial gravitacional, a elástica e a energia cinética:

E = U g + U e l + K

Quando você puxa o pêndulo para o lado, você dá para ele energia potencial gravitacional (porque ele ganha alguma altura) e energia potencial elástica (porque a mola é distorcida). Então a energia da bolinha nesse ponto é

E 1 = U g + U e l

A energia cinética é nula porque a bolinha está parada nesse ponto.

No segundo momento, quando a bola passa pelo ponto de equilíbrio (em que a mola está frouxa, logo U e l = 0 , e a bolinha está na posição h = 0 , e assim U g = 0 ), toda essa energia que ela tinha antes, terá se convertido em energia cinética porque ela ganhou velocidade:

E 2 = K

Pela conservação de energia, como não há forças externas ao nosso sistema, a energia mecânica é igual nesses dois pontos

E 1 = E 2

U e l + U g = K

Substituindo as fórmulinhas de cada uma dessas energias:

1 2 k x 2 + m g h = 1 2 m v 2     i

Passo 3

O enunciado diz que a gente tem k , m e g . Então para achar a expressão de v a partir da expressão acima, precisamos de x e h .

Temos essa situação quando a corda é puxada:

Sendo que d pode ser achada por trigonometria

d L = cos ⁡ θ → d = L cos ⁡ θ

De modo que h fica

h = L - d

h = L - L cos ⁡ θ

h = L 1 - cos ⁡ θ

Substituindo isso em i :

1 2 k x 2 + m g L 1 - cos ⁡ θ = 1 2 m v 2     i i

Passo 4

Agora vamos procurar uma expressão para a distorção x da mola. Precisamos de um desenho da situação:

Vamos aplicar o teorema de Pitágoras sobre o triângulo azul:

x + L / 2 2 = L sen ⁡ θ 2 + L + L / 2 - L cos ⁡ θ 2

x + L / 2 2 = L 2 sen ⁡ θ 2 + 3 / 2 - cos ⁡ θ 2

Simplificando um pouco essa expressão:

x + L 2 2 = L 2 13 4 - 3 cos ⁡ θ 2

Nosso objetivo aqui é encontrar x , então vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados e isolar:

x = L - 1 2 + 13 4 - 3 cos ⁡ θ

Usamos só a parte positiva da raiz porque x é uma distância (grandeza positiva).

Passo 5

Voltando à expressão que encontramos no passo 3 :

1 2 k x 2 + m g L 1 - cos ⁡ θ = 1 2 m v 2

Vamos isolar a rapidez que queremos calcular:

v 2 = k m x 2 + 2 g L 1 - cos ⁡ θ

E substituindo a expressão para x :

v 2 = k m L 2 - 1 2 + 13 4 - 3 cos ⁡ θ 2 + 2 g L 1 - cos ⁡ θ

Vamos colocar L 2 em evidência:

v 2 = L 2 k m - 1 2 + 13 4 - 3 cos ⁡ θ 2 + 2 g L 1 - cos ⁡ θ

E agora tirando a raiz quadrada dos dois lados:

v = L 2 g L 1 - cos ⁡ θ + k m 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

Resposta

A rapidez da bolinha nesse ponto é v = L 2 g L 1 - cos ⁡ θ + k m 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2 .

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