Enunciado

Uma pequena bola rola ao longo de um círculo horizontal a uma altura y , dentro de uma tigela esférica de raio R , como mostra a FIGURA P D 8.62 .

a. Obtenha uma expressão para a velocidade angular da bola em termos de R ,   y e g .

b. Qual é o mínimo valor de ω para que a bola consiga se mover em um círculo?

c. Quanto vale ω , em r p m , se R = 20   c m e a bola estiver na metade do caminho de subida?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar pensando que essa bolinha deve estar localizada em algum ângulo θ abaixo do plano horizontal do topo dessa semiesfera. E se fizermos uma fatia nessa semiesfera na altura de y , esse ângulo θ forma um triângulo que nos vai ser super útil. Mas pra visualizar melhor, saca só esse desenho:

A tangente desse ângulo vai relacionar os catetos R - y e r da figura:

t g   θ = R - y r

Passo 2

Letra a)

Bom, agora vamos ver quais forças temos aqui. A força peso aponta sempre verticalmente para baixo. Temos também a força normal, que é perpendicular à superfície de contato, então ela var ter componente vertical e horizontal. A componente vertical vai contrabalançar a força peso, certo?

E como a bolinha descreve um movimento circular, temos a força centrípeta, que é na direção radial e vai ser igual a componente horizontal da normal. Tranquilo?

Então daqui podemos tirar o seguinte sistema:

n   c o s θ = m r ω 2 n   s e n θ = m g

Aqui já usei a força centrípeta em função da velocidade angular, que é o que queremos, blz?

Agora vou dividir a segunda equação pela primeira (para obter a tangente!!), olha só como fica:

s e n θ c o s θ = m g m r ω 2 = g r ω 2

t g   θ = g r ω 2 = R - y r

Agora temos uma expressão para a velocidade angular:

ω 2 = g R - y

ω = g R - y

Passo 3

Letra b)

A velocidade angular é inversamente proporcional à distância R - y , então quando y = 0 temos o menor valor de ω . E usando a relação do passo anterior temos:

ω m i n = g R

Passo 4

Letra c)

Se o raio R é 0,2 m e a bolinha está na metade da subida, então y = 0,1 m , certo? Usando a expressão pra velocidade angular do passo 2 temos:

ω = g R - y = 9,8 0,2 - 0,1 = 9,9 r a d / s

E para transformar de r a d / s para r p m   precisamos multiplicar essa velocidade pelo fator 60 / 2 π :

ω = 9,9 × 60 2 π = 95 r p m

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) ω = g R - y

b ) ω m i n = g R

c ) 95 r p m

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