Enunciado

Um pesado disco de plástico está montado sobre mancais sem atrito no eixo vertical que passa pelo seu centro. O disco tem raio R = 15   c m e massa M = 0,25   k g . Uma barata (massa m = 0,015   k g ) está sobre o disco, a uma distância de 8,0   c m do centro. Inicialmente, tanto o disco quanto a barata estão em repouso. A barata começa, então, a caminhar ao longo de uma trajetória circular concêntrica ao eixo do disco, à distância constante de 8,0   c m do eixo. Se a rapidez da barata em relação ao disco é 0,010   m / s , qual é a rapidez da barata em relação à sala?

Passo 1

Como o disco está livre para girar sem atrito, e não existe nenhum torque externo agindo sobre o sistema disco-barata, a caminhada da barata fará com que o disco gire na direção contrária.

Podemos calcular a rapidez dessa rotação usando a conservação de momento angular. Como inicialmente tínhamos L = 0 , devemos continuar com L = 0 em todos os instantes:

L b a r a t a - L d i s c o = 0

O sinal negativo aparece porque os momentos angulares têm sentidos opostos:

I b ω b = I d ω d

m b r b 2 ω b = I d ω d

E o momento de inércia de um disco é 1 2 M R 2 , então:

m b r b 2 ω b = 1 2 M R 2 ω d

E vamos usar o fato de que ω b r b = v b para reescrever a equação:

m b r b v b = 1 2 M R 2 ω d

Passo 2

Mas o enunciado deu apenas a rapidez da barata em relação ao disco, mas o v b que aparece na nossa equação deve estar escrito em relação ao solo.

Basta subtrair a rapidez do disco na posição da barata da rapidez que foi dada no enunciado:

v b = v - ω d r b

E então:

m b r b v - ω d r b = 1 2 M R 2 ω d

Isolando a rapidez angular do disco:

2 m b r b v - 2 m b r b 2 ω d = M R 2 ω d

M R 2 + 2 m b r b 2 ω d = 2 m b r b v

ω d = 2 m b r b v M R 2 + 2 m b r b 2

Passo 3

Ok, já temos a rapidez angular do disco, vamos voltar à nossa expressão de antes para encontrar a rapidez da barata em relação à sala:

v b = v - ω d r b

v b = v - 2 m b r b v M R 2 + 2 m b r b 2 r b

Agora é só substituir os valores numéricos:

v b = 0,010 - 2 0,015 0,080 2 0,010 0,25 0,15 2 + 2 0,015 0,080 2

v b = 9,66   .   10 - 3   m / s

v b ≅ 9,6   m m / s

Resposta

A rapidez da barata em relação à sala é de aproximadamente 9,6   m m / s .

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