Enunciado

Uma placa carregada de forma não uniforme. Repita o Problema 22.54 , porém agora supondo que a densidade de carga da placa seja dada por ρ x = ρ 0 x / d 2 , onde ρ 0 é uma constante positiva.

Passo 1

No centro da barra ( x = 0 ), há uma simetria em relação aos outros eixos, tal que o campo elétrico gerado pelas faces laterais tem a mesma influência nesta região. Isso significa que o campo elétrico em função da distância será igual para x e - x , tal que a equação

E x = - E - x

É verdadeira apenas para E 0 = 0 .

Passo 2

Precisamos lembrar agora que a lei de Gauss é dada por:

Φ E = E A = Q ϵ 0

E utilizá-la pra descobrir o campo elétrico no espaço inteiro.

Como a densidade de carga volumétrica não é distribuída de forma uniforme, devemos utilizar um elemento diferencial de carga para, ao integrar, encontrar o valor total da carga em toda a região.

Em primeiro lugar, consideremos a região no interior da barra, onde x ≤ d .

Deixando a carga em função da densidade volumétrica de carga, ela terá a forma:

Q = V ρ x = V ρ 0 x d 2

Considerando uma superfície gaussiana com o volume dado pela sua área de face A e espessura 2 x , pegamos um elemento muito pequeno dessa superfície que possua a mesma área A , mas espessura d x :

d q = A d x ρ 0 x d 2

Visto que o elemento possui espessura d x , concluímos que ele terá campos elétricos agindo em ambas as suas faces.

Então, a carga total envolvida por essa superfície será:

Q = ∫ - x x A ρ 0 d 2 x 2 d x = 2 ∫ 0 x A ρ 0 d 2 x 2 d x

Note que - x e x são as extremidades da superfície gaussiana.

Logo:

Q = 2 A ρ 0 d 2 ∫ 0 x x 2 d x = 2 A ρ 0 d 2 x 3 3 | x 0

Q = 2 3 A ρ 0 x 3 d 2

Substituindo na lei de Gauss, o campo elétrico é:

2 E A = 1 ϵ 0 2 3 A ρ 0 x 3 d 2 → E = ρ 0 x 3 3 ϵ 0 d 2

Como a constante da densidade volumétrica, ρ 0 , é positiva, independente do valor de x o campo elétrico também será “positivo”, ou seja, irá fluir para fora do centro, ou ainda:

E → = ρ 0 x 3 3 ϵ 0 d 2 i ^

Passo 3

Agora, para x ≥ d , considerando uma superfície superfície gaussiana também de área de face A , mas espessura maior que 2 d , a carga total envolvida por essa superfície será dada supondo um pequeno elemento que contenha a mesma área de face da superfície, porém espessura d x (análogo ao passo anterior):

Q = ∫ - d d A ρ 0 d 2 x 2 d x = 2 ∫ 0 d A ρ 0 d 2 x 2 d x

Lembre-se que - d e d são as extremidades da placa!!

Logo:

Q = 2 A ρ 0 d 2 ∫ 0 d x 2 d x = 2 A ρ 0 d 2 x 3 3 | d 0

Q = 2 3 A ρ 0 d

Substituindo na lei de Gauss, o campo elétrico é:

2 E A = 1 ϵ 0 2 3 A ρ 0 d → E = ρ 0 d 3 ϵ 0

Da mesma forma, pela constante ρ 0 ser positiva, o campo elétrico será “positivo” e irá fluir para fora do centro e pode ser reescrito como:

E → = ρ 0 d 3 ϵ 0 x x i ^

Resposta

b   x ≤ d → E → = ρ 0 x 3 3 ϵ 0 d 2 i ^

x ≥ d → E → = ρ 0 d 3 ϵ 0 x x i ^

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