Enunciado

Uma distribuição de cargas esfericamente simétricas, porém não uniformes, possui uma densidade ρ r dada por:

Em que ρ 0 é uma constante positiva. a Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. b Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região r ≥ R . c Determine uma expressão para o campo elétrico na região r ≤ R . d Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função da distância r . e Encontre o ponto r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

Como a densidade de carga volumétrica não é distribuída de forma uniforme, devemos utilizar um elemento diferencial de carga para, ao integrar, encontrar o valor total da carga em toda a região.

Consideremos, então, a região interior da distribuição.

Deixando a carga em função da densidade volumétrica de carga, ela terá a forma:

Q = V ρ r = V ρ 0 1 - 4 r 3 R

Considerando uma superfície gaussiana (em r ≤ R ) com o volume dado pela sua área de face A e espessura d r :

d q = A d r ρ 0 1 - 4 r 3 R

Como a superfície é esférica:

d q = 4 π r 2 d r ρ 0 1 - 4 r 3 R → d q = 4 π ρ 0 r 2 - 4 r 3 3 R d r

Então, a carga total envolvida por essa superfície será:

Q T = ∫ 0 R 4 π ρ 0 r 2 - 4 r 3 3 R d r = 4 π ρ 0 ∫ 0 R r 2 - 4 r 3 3 R d r

Então:

Q T = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 3 R | R 0

∴ Q T = 4 π ρ 0 R 3 3 - R 3 3 = 0

Logo:

Q T = 0

Passo 2

Agora, para a região r ≥ R , consideramos uma superfície gaussiana com esse raio. Usando a lei de Gauss para ela, temos:

Φ = E A = Q T ϵ 0

Como a superfície em questão é esférica:

E 4 π r 2 = Q T ϵ 0 → E = 0

Já que não há carga no interior da superfície, não há fluxo elétrico pela região e o campo elétrico é nulo.

Passo 3

Da mesma forma, para a região r ≤ R , aplicamos a lei de Gauss para uma superfície gaussiana com esse raio. Logo:

Φ = E A = Q T ϵ 0

No entanto, para essa região, a densidade de carga não é distribuída uniformemente.

Assim, devemos calcular a carga total envolvida pela superfície utilizando um elemento diferencial de carga em função dessa densidade, tal que:

d q = V ρ r

Onde o volume desse elemento diferencial possui uma área esférica de raio l , mas menor do que a superfície gaussiana, e uma espessura d l :

d q = A d l ρ r = 4 π l 2 ρ 0 1 - 4 l 3 R d l

Assim, a carga total será dada pela integração dessa equação:

Q T = ∫ 0 r 4 π ρ 0 l 2 - 4 l 3 3 R d l = 4 π ρ 0 ∫ 0 r l 2 - 4 l 3 3 R d l

Então:

Q T = 4 π ρ 0 l 3 3 - l 4 3 R | r 0

∴ Q T = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 3 R

Logo:

Q T = 4 3 π ρ 0 r 3 1 - r R

Portanto, como o campo elétrico é dado pela lei de Gauss:

E 4 π r 2 = Q T ϵ 0

Substituindo o valor da carga total envolvida:

E = 1 4 π ϵ 0 r 2 4 3 π ρ 0 r 3 1 - r R

Ou seja:

E = ρ 0 3 ϵ 0 r - r 2 R

Passo 4

O gráfico do campo elétrico em função de r pode ser dado por:

Passo 5

Para determinar o ponto máximo do campo elétrico, podemos utilizar um método de Cálculo 1 , no qual derivamos a equação do campo e igualamos o resultado a zero para descobrir o valor de r em que isso ocorre. Dessa forma:

d E d r = ρ 0 3 ϵ 0 - 2 ρ 0 3 ϵ 0 R r = 0 → 2 ρ 0 3 ϵ 0 R r = ρ 0 3 ϵ 0

Isolando a variável de interesse:

r = R 2

Portanto, o campo elétrico nesse ponto tem o valor:

E = ρ 0 3 ϵ 0 R 2 - R 2 4 R = ρ 0 3 ϵ 0 R 4

Então:

E = ρ 0 R 12 ϵ 0

Resposta

a   Q T = 0

b   r ≥ R → E = 0

c   r ≤ R → E = ρ 0 3 ϵ 0 r - r 2 R

e   r = R 2 → E = ρ 0 R 12 ϵ 0

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