Enunciado

Uma placa de massa M, com a forma de um triângulo equilátero, está suspensa por um de seus vértices, e uma massa m está suspensa no outro vértice. Se a base do triângulo forma um ângulo de 6,0° cm a horizontal, qual é a razão m / M ?

Passo 1

Beleza galera, primeiro vamos desenhar o triângulo equilátero de massa M (representado em preto), quando penduramos uma massa m o triangulo rotacional, e gira um ângulo θ (representado de vermelho):

O triângulo equilátero possui os três ângulos iguais a 60° e os três lados iguais, 2a. O centro de massa ou baricentro do triângulo divide as medianas em uma proporção de 2:1. Como todos os lados são iguais, as medianas também serão, então precisamos calcular somente uma.

Lembrando que:

H i p o t e n u s a ² = C a t e t o   O p o s t o ² + C a t e t o   A d j a c e n t e ²

2 a 2 = a ² + M e d i a n a ²

M e d i a n a = a 3

Como o centro equivale a ⅓ da distância da mediana a partir do ponto médio, e ⅔ da distância da mediana a partir do vértice:

C e n t r o   d e   M a s s a = a 3 - a 3 3 = 2 a 3 3

Racionalizando

C e n t r o   d e   M a s s a = 2 a 3

Até aqui bem tranquilo, né? O que não podemos esquecer é que, quando o triângulo rotacional um ângulo θ , o centro de massa rotaciona para 2 a 3 θ . Assim como o centro de massa, o vértice cujo m está pendurado rotaciona para 2 a θ .

Agora que temos estes dados podemos desenhar novamente o problema:

Passo 2

Muito bem, quando o corpo de massa m é pendurado em um dos vértices do triângulo, este rotaciona e atinge o equilíbrio o equilíbrio, ou seja:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Vamos usar aqui a segunda condição, já que houve uma rotação do corpo. O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e aqui vamos escolher a mediana do triângulo inicial (o preto!), que vai do topo até a base.

Beleza ! Quando fazemos isso percebemos que quando m é pendurado, a força peso que atua sobre ele estará a uma distância a - d do eixo de rotação.

Para calcular d usamos o novo triângulo formado depois da sua rotação:

Então:

cos ⁡ 30 ° = d 2 a θ

d = 2 a θ cos ⁡ 30 ° = 3 . a θ

Agora nós temos tudo o que precisamos para achar o torque !!

Passo 3

Então galera, neste sistema nós teremos duas forças atuando. A primeira é a força peso sobre o corpo m, dado por:

τ → = m g . ( a - 3 a θ )

Mas calma que não é só essa não ! o triângulo também tem uma massa M e também terá a força peso atuando sobre seu novo centro de massa, que vai estar a uma distância 2 a 3 θ do eixo de rotação, como já vimo. Então neste caso:

τ → = M g . 2 a 3 θ

Já temos o torque agora só precisamos saber o sentido de rotação. Por convenção se uma determinada força for capaz de girar o corpo no sentido anti-horário seu sinal será positivo. A força do corpo m é capaz de girar a barra no sentido anti-horário (+), já a força de M gira no sentido horário (-).

Sendo assim:

m g . a - 3 a θ - M g . 2 a 3 θ = 0

Agora já vemos uma luz no fim desse túnel ! Falta só isolarmos m M :

m M = g . 2 a 3 θ g a - 3 a θ

m M = g . 2 a 3 θ g a 1 - 3 θ = 2 3 θ 1 - 3 θ = 2 3 . θ 1 - 3 θ

Para terminar, transformamos o ângulo em radianos:

θ = 6,0 ° . π 180 ° = π 30

E substituímos:

m M = 2 3 . π 30 1 - 3 . π 30 = 0,15

Resposta

m M = 0,15

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