Enunciado

a) Para a placa retangular fina indicada na parte (d) da Tabela 9.2, ache o momento de inércia em relação a um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu centro e paralelo ao eixo indicado na figura.

b) Ache o momento de inércia da placa em relação a um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

O enunciado fala para usarmos a placa da tabela. Ela é essa aqui

Repara que ele nos dá o momento de inércia em relação ao eixo que passa pela borda dessa placa.

E ele pede o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a esse que está na figura e que esteja no plano da placa, passando pelo centro dela C . Ou seja, passando por seu centro de massa. Podemos chama-lo de eixo a :

Como a gente já tem o momento de inércia em relação a um eixo e queremos achar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro que passa pelo C M da figura, a gente pode usar o teorema dos eixos paralelos.

I p = I c m a + M d 2

Onde, M é a massa da placa. E d é a distância entre os eixos paralelos.

Bora lá!

Passo 2

a) Como queremos o momento de inércia que passa pelo centro de massa

I c m a = I p - M d 2

Sendo que segundo a tabela,

I p = 1 3 M a 2

Vemos pela figura que a distancia entre os eixos vale

d = a 2

Logo:

I c m a = 1 3 M a 2 - M a 2 2 = 1 3 M a 2 - M a 2 4

I c m a = M a 2 12

Tranquilo até aqui?

Passo 3

b) Nessa vamos fazer algo muito parecido. Mas a gente pode entender pela geometria da placa que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao seu segmento que vale a e que está na borda da placa é

I p = M b 2 3

Aí ele nos pede para achar o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo C M da placa, mas esse eixo é perpendicular ao eixo do item anterior. Temos:

Temos a mesma situação do item anterior agora. A gente pode usar o teorema dos eixos paralelos.

I p = I c m b + M d 2

Show?

Passo 4

Como queremos o momento de inércia que passa pelo centro de massa

I c m b = I p - M d 2

Sendo que

I p = 1 3 M b 2

E agora a distancia vai valer,

d = b 2

Logo:

I c m b = 1 3 M b 2 - M b 2 2 = 1 3 M b 2 - M b 2 4

I c m a = M b 2 12

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a ) I = M a 2 12

b ) I = M b 2 12

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