Enunciado

Um planeta se move em uma órbita elíptica em torno do Sol, com o Sol em um dos focos da elipse, como na figura. (a) Qual é o torque em relação ao centro do sol devido à força de atração do sol sobre o planeta? (b) Na posição A , o planeta tem um raio orbital r 1 e está se movendo com uma rapidez v 1 perpendicular à linha entre o Sol e o planeta. Na posição B , o planeta tem um raio orbital r 2 e está se movendo com rapidez v 2 , novamente perpendicular à linha entre o Sol e o planeta. Qual é a razão entre v 1 e v 2 em termos de r 1 e r 2 ?

Passo 1

(a) Vamos lembrar da definição do torque:

τ = r → × F →

Nesse caso, o vetor r → é o que liga o Sol ao planeta, e F → é a força de atração que aponta na mesma direção. Então ficamos com um produto vetorial de duas forças paralelas.

O produto vetorial de dois vetores paralelos é sempre zero, portanto:

τ → = 0

Passo 2

(b) Como o torque resultante é zero (conforme acabamos de ver), podemos garantir que o momento angular se conserva.

L → = r → × p →

Vamos analisar o momento em dois casos em que a velocidade (e portanto o momento p → ) é perpendicular ao vetor r → , então podemos escrever a magnitude do produto vetorial da seguinte forma:

L = r p = m r v

Como o momento angular se conversa, podemos afirmar que:

L A = L B

m r 1 v 1 = m r 2 v 2

E assim fica fácil encontrar a razão que foi pedida:

v 1 v 2 = r 2 r 1

Resposta

(a) O torque é nulo.

(b) A razão é r 2 / r 1 .

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