Enunciado

Pode ocorrer equilíbrio estável quando forças elétricas atuam sem nenhuma outra força? No Capítulo 21 , fornecemos diversos exemplos para o cálculo de uma força elétrica exercida sobre uma carga puntiforme por outras cargas puntiformes existentes em suas vizinhanças. a Considere uma carga puntiforme positiva + q . Forneça um exemplo de como colocar duas outras cargas puntiformes escolhidas por você, de modo que a força elétrica resultante exercida sobre a carga + q seja igual a zero. b Se a força elétrica sobre a carga + q é igual a zero, essa carga está em equilíbrio. Dizemos que o equilíbrio é estável quando, ao deslocarmos ligeiramente a carga em qualquer direção a partir da posição de equilíbrio, a força elétrica resultante empurra a carga de volta à sua posição de equilíbrio. Para que isso ocorra, qual deve ser a direção do campo elétrico E → produzido pelas outras cargas puntiformes existentes nas vizinhanças da carga em equilíbrio + q ? c Suponha que a carga + q seja removida para uma distância muito grande das outras cargas; e imagine uma pequena superfície gaussiana centralizada no ponto onde a carga + q estava em equilíbrio. Aplicando a lei de Gauss para essa superfície, mostre que é impossível obter a condição de equilíbrio estável mencionada no item b , supondo que existam apenas as forças elétricas atuando sobre a partícula. Em outras palavras, uma carga + q não pode atingir um equilíbrio estável quando sobre ela atuam forças exclusivamente eletrostáticas. Esse resultado é conhecido como teorema de Earnshaw. d Os itens de a até c referem-se aoequilíbrio estável de uma carga puntiforme positiva + q . Prove o teorema de Earnshaw para uma carga puntiforme negativa - q .

Passo 1

Para que a força resultante em uma carga resulte em zero a partir da influência de duas outras cargas, temos que ambas devem ter a mesma carga e estar posicionadas uma em cada lado com a mesma distância a partir dela.

Então, uma forma de fazer isso é colocar duas cargas + Q em ambos os lados da carga + q , tal que elas estão a uma distância r da carga em equilíbrio.

Como as cargas + Q possuem mesmo valor e sinal, irão exercer forças iguais na carga + q , porém de sentidos opostos que irão se “anular” e manter a força resultante nula.

Passo 2

Para o equilíbrio ser estável e a carga + q sempre voltar a sua posição de equilíbrio, o campo elétrico gerado pelas outras cargas deve sempre ter sentido para essa posição de equilíbrio, independente do local para onde a carga se movimente. Logo, se a carga se mover para a direita, o campo sobre ela deve apontar para a esquerda até que a posição de equilíbrio seja retomada.

Passo 3

Agora, caso essa carga + q se movimente para uma posição muito distante da posição de equilíbrio, fazendo uma superfície gaussiana na localização de equilíbrio dela, tal superfície deve conter uma carga que gere um fluxo negativo e que consiga “puxar/atrair” a carga + q de volta para a posição original, ou seja, a superfície precisa envolver uma carga negativa de intensidade suficiente.

Porém, como não há nenhuma carga negativa presente nesse caso, é impossível que a carga + q consiga retornar apenas sob a ação das forças elétricas das cargas + Q .

Passo 4

Analogamente, se a carga inicial fosse negativa de valor - q , a condição para que ela obtenha equilíbrio estável é oposta do que foi dito para a carga positiva. Assim, o campo elétrico sobre ela deve ter sentido para fora da posição de equilíbrio.

Caso ela seja movida para um ponto muito distante das outras cargas, a superfície gaussiana na posição de equilíbrio deve envolver uma carga positiva a fim de ela atrair a carga - q de volta ao ponto de equilíbrio. Como isso não ocorre, a carga não poderá entrar em equilíbrio estável.

Resposta

b Para o ponto de equilíbrio

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