Enunciado

A posição de um helicóptero de treinamento de 2,75 × 10 5 N é dada por:

r → = 0,02 t 3 i →     + 2,2 t j → - 0,06 t 2 k →

Ache a força resultante sobre o helicóptero para t = 5 s .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que a posição de um helicóptero de treinamento de 2,75 × 10 5 N é dada por:

r → = 0,02 t 3 i →     + 2,2 t j → - 0,06 t 2 k →

Queremos encontrar a força resultante sobre o helicóptero para t = 5 s .

Bom... Vamos começar olhando a fórmula para força resultante e reparar que ela é função do tempo.

A força resultante F r , de acordo com a segunda lei de Newton, é dada pelo produto da massa m pela aceleração a :

F r = m a

Agora devemos lembrar de que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

a = d 2 r → t d t 2

Ou seja, como temos a posição em função do tempo r → ( t ) , para determinar a aceleração, precisamos derivar duas vezes essa função. Vamos lá?

Passo 2

Para derivar, vamos usar a regra do polinômio,

r t = t n → r t ' = n t n - 1

Aplicando, temos que a primeira derivada é (mais conhecida como velocidade):

d r → t d t = d d t 0,02 t 3 i →     + 2,2 t j → - 0,06 t 2 k → = 0,06 t 2 i → + 2,2 j → - 0,12 t k →

E derivando novamente:

a → = d 2 r → t d t 2

a → = d d t d r → t d t

a → = d d t 0,06 t 2 i → + 2,2 j → - 0,12 t k →

a → = 0,12 t i → - 0,12 k →

Então a aceleração é a → = 0,12 t i → - 0,12 k → .

Passo 3

E a massa? Bom, sabemos que o helicóptero pesa 2,75 × 10 5 N   , então podemos usar a definição de peso P para determinar a massa m :

P = m g

Onde g é a aceleração da gravidade.

2,75 × 10 5 = m ⋅ 9,8

m = 2,75 × 10 5 9,8 = 28,06 × 10 3 k g

Agora sim podemos determinar a força resultante no instante t = 5 s . Resgatando lá do passo 1 :

F R → = m a →

F R → ( t ) = 28,06 × 10 3 0,12 t i → - 0,12 k →

F R → 5 = 28,06 × 10 3 0,12.5 i → - 0,12 k →

F R → 5 = 1,68 × 10 4 i → - 3,36 × 10 3 k → m / s 2

Resposta

1,68 × 10 4 i → - 3,36 × 10 3 k → m / s 2

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