Enunciado

(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 - 12 t + 3 t 2   (onde t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s ? (b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x ? (c) Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante? (d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante? (Tente responder às duas próximas perguntas sem fazer outros cálculos.) (e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece? (f) Existe algum instante após t   = 3 s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de x ? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?

Passo 1

Galera, como sabemos a derivada da função posição pelo tempo é igual a velocidade.

v t = d x d t = 0 - 12 + 6 t

v ( t ) = 6 t - 12

Agora ficou fácil, né? É só fazer t = 1 !

v 1 = 6 . 1 - 12

a         v 1 = - 6   m / s

Passo 2

b Como a velocidade em t = 1 é negativa, o movimento será no sentido negativo de x .

( c ) Pessoal, a velocidade escalar nada mais é que o módulo da velocidade, decorou? Sabendo disso, podemos afirmar que a velocidade escalar em t = 1 é 6   m / s .

Passo 3

O que determina se a velocidade aumenta ou diminui é a aceleração, tenha em mente também que a aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição ou a derivada primeira da função velocidade.

a t = d 2 x d t 2 = d d v d t d t = d v d t   = d d t 6 t - 12 = 6   m / s 2

(d) Lembra o que te falei na letra (c) sobre velocidade escalar? Como a aceleração é positiva a velocidade aumenta, mas por velocidade e aceleração terem sinais opostos se trata de um movimento retardado onde a velocidade escalar diminui.

Passo 4

Para sabermos em qual instante a velocidade é zero, basta igualar a função velocidade a zero.

v t = 0

6 t - 12 = 0

e     t = 2   s

Passo 5

Para responde a letra (f) basta observar a função velocidade e estudar seu sinal, vamos verificar para quais valores de t a velocidade é negativa e se algum desses valores é maior que 3   s .

v t < 0

6 t - 12 < 0

t < 2   s

Os valores de t para que v seja negativo não incluem valores maiores que 3   s , por isso, a resposta da letra (f) é não.

Resposta

a) v 1 = - 6   m / s

b) sentido negativo de x

c) 6   m / s

d) velocidade escalar diminui

e) t = 2   s

f) não

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