Enunciado

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 12 t 2 - 2 t 3 , onde x está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração da partícula em t   =   3,0   s . (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante t   =   0 )? (i) Determine a velocidade média da partícula entre   t   =   0 e t   =   3,0   s .

Passo 1

Pessoal, para resolver essa questão temos que ter em mente que a velocidade é igual a derivada da posição e que a aceleração é a derivada velocidade.

x ( t ) = 12 t 2 - 2 t 3

v t = x ' t = 24 t - 6 t 2

a ( t ) = v ' t = x ' ' t = 24 - 12 t

Substituindo t = 3,0   s nas equações encontramos:

x 3 = 12 3 2 - 2 3 3 = 54   m

v 3 = 24 3 - 6 3 2 = 18   m / s

a 3 = 24 - 12 3 = - 12   m / s 2

Passo 2

A posição atinge um ponto máximo ou mínimo, quando a velocidade é igual a zero.

v t = 0

24 t - 6 t 2 = 0 → t = 0   o u   t = 4   s

Substituindo na função posição esses valores, podemos compará-los.

x 0 = 12 0 2 - 2 0 3 = 0

x 4 = 12 4 2 - 2 4 3 = 64   m

Então a coordenada máxima é 64m e é alcançada no instante 4s.

Passo 3

A velocidade vai atingir seu ponto máximo quando a aceleração for zero.

a t = 0

24 - 12 t = 0 → t = 2 s

v 2 = 24 2 - 6 2 2 = 24   m / s

Passo 4

Vimos que a velocidade é zero nos instantes   t = 0   e   t = 4   s , substituindo na função da aceleração encontramos a resposta.

a 0 = 24 - 12 0 = 24 m / s 2

a 4 = 24 - 12 4 = - 24   m / s 2

Passo 5

Para encontrar a velocidade média entre os instantes t = 0   e t = 3 , fazemos o seguinte:

v m é d = Δ v Δ t = 54 m - 0 m 3 s - 0 s

v m é d = 18   m / s

Resposta

a) 54   m

b) 18   m / s

c) - 12   m / s 2

d) 64   m

e) 4   s

f) 24   m / s

g) 2 s

h) 24 m / s 2       e     - 24 m / s 2

i) 18   m / s    

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