Enunciado

A posição de uma partícula em função do tempo é dada por   r → = 5,0 i ^ + 4,0 j ^ t 2     m , onde t está em segundos.

  1. Qual é a distância da partícula em relação à origem em t = 0 ,   2 e 5   s ?
  2. Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula em função do tempo.
  3. Qual é a rapidez da partícula em t = 0 ,   2 e 5   s ?

Passo 1

  1. Qual é a distância da partícula em relação à origem em t = 0 ,   2 e 5   s ?
  2. Primeiro, vamos achar quem é o vetor posição em t = 0 s , t = 2 s e t = 5 s   .

    Para t = 0 s :

    r → 0 = 5,0 i ^ + 4,0 j ^   x   0 2     m

    r → 0 = 0 i ^ + 0 j ^     m = 0   m

    Para t = 2 s

    r → 2 = 5,0 i ^ + 4,0 j ^   x   2 2     m

    r → 2 = 20 i ^ + 16 j ^     m

    Para t = 5 s

    r → 5 = 5,0 i ^ + 4,0 j ^   x   5 2     m

    r → 5 = 125 i ^ + 100 j ^     m

    Passo 2

    O que queremos é a distância da partícula em relação a origem nesses instantes de tempo. Dá uma olhada aqui nessa imagem:

    Percebe que a distância que a partícula está da origem é o tamanho do vetor posição, ou seja, o módulo desse vetor.

    Então para sabermos a distância da partícula em relação a origem temos que encontrar o módulo do vetor posição em cada um dos instantes de tempo pedido, show?

    Como já encontramos quem é o vetor posição em cada um desses instantes de tempo temos só que calcular o módulo agora.

    Em t = 0 s o vetor posição é o vetor nulo, que tem módulo zero, lembra? Então a distância em relação a origem é zero, a partícula está na própria origem.

    Em t = 2 s :

    r 2 = r 2 x 2 + r 2 y 2

    r 2 = 20 2 + 16 2

    r 2 = 25,6   m

    A distância em t = 2 s é de 25,6   m

    Em t = 5 s :

    r 5 = r 5 x 2 + r 5 y 2

    r 5 = 125 2 + 100 2

    r 5 = 160   m

    A distância em t = 5 s é de 160   m

    Passo 3

  3. Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula em função do tempo.
  4. Lembra que a velocidade é a DERIVADA da posição em relação ao tempo. Então para encontrarmos uma expressão para a velocidade vamos derivar a expressão para a posição em relação ao tempo:

    v → = d r → d t = 5,0 i ^ + 4,0 j ^ d t 2 d t       m / s

    v → = 5,0 i ^ + 4,0 j ^ 2 t     m / s

    v → = 10 i ^ + 8 j ^ t     m / s

    Passo 4

  5. Qual é a rapidez da partícula em t = 0 ,   2 e 5   s ?

Vamos encontrar o vetor velocidade para cada um desses instantes de tempo:

Para t = 0 s :

v 0 = 10 i ^ + 8 j ^   x   0     m / s

v → 0 = 0 i ^ + 0 j ^     m / s = 0   m / s

Para t = 2 s

v → 2 = 10 i ^ + 8 j ^   x   2     m / s

v → 2 = 20 i ^ + 16 j ^     m / s

Para t = 5 s

v → 5 = 10 i ^ + 8 j ^   x   5     m / s

v → 5 = 50 i ^ + 40 j ^     m / s

Passo 2

A rapidez da partícula a gente encontra fazendo o módulo do vetor velocidade, porque é o modulo que nos diz o quão rápida a partícula está, as demais informações nos dizem a direção e sentido, belezinha?

Como já encontramos quem é o vetor velocidade em cada um desses instantes de tempo temos só que calcular o módulo agora.

Em t = 0 s o vetor velocidade é o vetor nulo, logo a velocidade nesse instante é zero, a partícula está parada.

Em t = 2 s :

v 2 = v 2 x 2 + v 2 y 2

v 2 = 20 2 + 16 2

v 2 = 25,6   m / s

A rapidez em t = 2 s é de 25,6   m / s

Em t = 5 s :

v 5 = v 5 x 2 + v 5 y 2

v 5 = 50 2 + 40 2

v 5 = 64,0   m / s

A rapidez em t = 5 s é de 64,0   m / s

Resposta

  1. A distância da partícula em relação a origem em t = 0 s , t = 2 s e t = 5 s é 0   m , 25,6   m e 160   m , respectivamente.
  2. v → = 10 i ^ + 8 j ^ t     m / s
  3. A rapidez da partícula em t = 0 s , t = 2 s e t = 5 s é 0   m / s , 25,6   m / s e 64,0   m / s , respectivamente.
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