Responde Aí

Enunciado

A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x varia no tempo de acordo com a expressão x   =   3   t 2 , em que x está em metros e t   em segundos. Avalie sua posição 

  1. em t = 3,00 s e
  2. em 3,00 s + ∆ t .
  3. Avalie o limite de ∆ x / ∆ t conforme ∆ t se aproxima de zero para encontrar a velocidade em t = 3,00 s.

Passo 1

a.Então, aqui é literalmente só aplicar t = 3,00   s na função x ( t ) e calcular. A gente vai ter:

x 3,00 = 3 3,00 2

x 3,00 = 27   m

Passo 2

b.E aqui, a mesma coisa, mas nossa resposta vai ficar em função de ∆ t mesmo! Nisso, vamos calcular e encontrar:

x 3,00 + ∆ t = 3 3,00 + ∆ t 2

x 3,00 + ∆ t = 3 9,00 + 6,00 ∆ t + ∆ t 2

x 3,00 + ∆ t = 27 + 18 ∆ t + 3 ∆ t 2

Passo 3

c.Você sabe que a velocidade média V m se calcula pela razão entre a variação no espaço percorrido e o tempo que esse percurso leva, certo?

Aqui, no caso, a variação de espaço é chamada de ∆ x e a variação do tempo de ∆ t . Portanto, a velocidade média se escreve matematicamente pela seguinte expressão:

V m = Δ x Δ t

Só que se o exercício te pede a velocidade do corpo em um instante específico, e não em um intervalo de tempo, você está na verdade calculando a velocidade instantânea V , naquele instante!

Isso ocorre quando ∆ t entre dois posições no espaço é tão pequeno que a gente considera que está calculando a velocidade em um único ponto. Matematicamente, dá pra gente escrever assim:

V = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ V m = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ Δ x Δ t

A parada agora vai ser calcular esse limite, quando Δ t tende a zero, exatamente entre as posições do espaço que calculamos em a) e b), que foram x 3,00 = 27   m e x 3,00 + ∆ t = = 27 + 18 ∆ t + 3 ∆ t 2 , sobre Δ t .

Passo 4

Beleza. Já temos as funções calculadas, então nosso Δ x já é conhecido, pois é a diferença entre a posição final ( x 3,00 + ∆ t ) e a posição inicial ( x 3,00 ) .

Vamos reescrever a expressão pro limite agora substituindo pelas respectivas funções:

V = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ V m = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ x 3,00 + ∆ t - x 3,00 Δ t

Tendo as expressões pra essas funções, vamos coloca-las no limite:

V = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ V m = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ 27 + 18 ∆ t + 3 ∆ t 2 - 27 Δ t

Dá pra cortar o 27 , né? Então a gente vai ter finalmente o seguinte:

V = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ 18 ∆ t + 3 ∆ t 2 Δ t

Passo 5

Ok, agora repara que tanto no numerador quanto no denominador da função dentro do limite a gente tem o termo Δ t . Então a gente pode simplificar ele em cima e embaixo. Vamos ter:

V = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ 18 ∆ t + 3 ∆ t 2 Δ t = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ 18 + 3 ∆ t

Ótimo! Esse é um limite possível e muito fácil de calcular. Basta literalmente substituir ∆ t por 0 e determinamos:

V = lim ∆ t ⟶ 0 ⁡ 18 + 3 ∆ t = 18 + 3 ∙ 0 = 18   m / s

Com isso, gente, a gente determinou a velocidade instantânea no instante t = 3,00   s , já que a gente considerou uma variação de tempo infinitesimal entre duas posições no espaço.

Resposta

a. x 3,00 = 27   m

b. x 3,00 + ∆ t = 27 + 18 ∆ t + 3 ∆ t 2

c. V = 18   m / s

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