Enunciado

A posição de uma partícula em movimento é dada por r t = ( 20   m / s   × t ) i   - ( 4,9 m / s 2   × t 2 ) j   . A) Calcule a velocidade v ( t ) e a aceleração a ( t ) da partícula. Que tipo de movimento a partícula realiza? B) Calcule a velocidade vetorial média da partícula entre os instantes t 1 = 1,0   s e t 2 = 5,0   s .

Passo 1

Oi pessoas, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Nessa questão vamos primeiro encontrar a velocidade e a aceleração.

Para encontramos a velocidade basta derivamos a posição, ou seja,

v t = d d t ( r ( t ) )

Certo e como derivamos um vetor? É simples basta derivar cada posição, assim

v t = d d t r x i +   d d t r y j +   d d t r z k

Desse modo,

v t =   d d t 20 t i +   d d t ( - 4,9 t 2 ) j

Portanto, a velocidade é

v t = ( 20   m / s ) i - ( 9,8 t   m / s 2 )   j

Passo 2

Certo, agora que fizemos a velocidade, a aceleração é a mesma coisa, ou seja,

a t =   d d t v x i +   d d t v y j +   d d t v z k

Note que a deriva é em função da velocidade e não da posição, desse modo, temos que a aceleração é

a t =     d d t ( 20 ) i +   d d t ( - 9,8 t ) j

a t =   - 9,8   m / s 2   j

Observe que na posição   j a partícula descreve um movimento retardado, pois a < 0 e v < 0 .

Passo 3

Certo pessoal, vamos para o item B). Ele pede a velocidade média em determinados instantes, vamos encontrar a posição da partícula nesses instantes.

Para t 1 = 1,0   s :

r 1 = 20 i - 4,9 j   m

Para t 2 = 5,0   s :

r 2 = 100 i - 122,5 j   m

Assim, sabendo que,

Δ r = r 2 - r 1

Δ r = 80 i - 117,6 j   m

E como a velocidade média é dada por:

v m e d = Δ r Δ t

Temos,

v m e d = 80 i - 117,6 j 5 - 1  

v m e d = 20 i - 29,4 j     m / s

Resposta

a ) v t = ( 20   m / s ) i - ( 9,8 t   m / s 2 )   j   , a t =   - 9,8   m / s 2   j , Retardado

b ) v m e d = 20 i - 29,4 j     m / s

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