Enunciado

É possível gerar um campo magnético descrito por

a) B → = B 0   x   i ^ + y   j ^ .

b) B → = B 0 x   i ^ - y   j ^ .

c) B → = B 0 x   j ^ - y   i ^ .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse exercício temos que discutir se os campos dados nos itens (a), (b) e (c) podem representar campos magnéticos físicos.

Para isso, vou fazer uma pequena digressão. A lei de Gauss para o magnetismo estabelece que

∯ B → ⋅ d A → = 0

Usando o teorema da divergência do cálculo vetorial, encontramos

∯ B → ⋅ d A → = ∭ ∇ ⋅ B →   d V = 0

Como a superfície (e o volume) são arbitrários, devemos ter

∇ ⋅ B → = 0

Essa é uma outra forma de escrever a lei de Gauss para o magnetismo, a chamada forma local: o divergente do campo magnético deve ser nulo. Isso vai ser discutido em mais detalhe na parte final do livre.

Em outras palavras, para que um vetor B → representa um campo magnético, seu divergente deve ser nulo. Vale lembrar que em coordenadas cartesianas o divergente é dado por

∇ ⋅ B → = ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z

Passo 2

No item (a) temos B x = x e B y = y , de modo que

∇ ⋅ B → = 1 + 1 + 0 = 2 ≠ 0

Portanto, ele não pode representar um campo magnético.

Já no item (b), temos B x = x e B y = - y , de modo que

∇ ⋅ B → = 1 - 1 + 0 = 0

Com isso, o campo do item (b) pode representar um campo magnético.

Por fim, no item (c) temos B x = - y e B y = x , de modo que

∇ ⋅ B → = 0 + 0 + 0 = 0

Desta forma, vemos que os campos dos itens (b) e (c) podem representar campos magnéticos!

Resposta

(b) e (c).

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