Enunciado

Uma espira quadrada de lado L é percorrida por uma corrente i .

  1. Determine, em módulo, direção e sentido, o campo B → ( z ) num ponto P situado sobre o eixo da espira (reta perpendicular ao seu plano passando pelo centro O da espira), à distância z de O . Para z = 0 , relacione o resultado com o problema 3.
  2. Interprete o resultado para z ≫ L .

Passo 1

Se liga! Vamos primeiro visualizar o problema!

Temos uma espira quadrada de tamanho L , onde por ela passa uma corrente como na figura acima. Essa espira é composta por 4 fios de comprimento L .

Queremos calcular o campo magnético no ponto P que está no eixo da espira, o eixo z .

Antes de sair fazendo contas, vale observar o que a simetria do problema nos proporciona.

Pela regra da mão direita, podemos ver que no ponto P o fio da esquerda produz um campo que aponta nas direções - y ^ e z ^ e o fio 3 nas direções y ^ e z ^ . O campo dos dois tem a mesma magnitude, portanto, as componentes y ^ se anulam, restando assim apenas a direção z .

A mesma coisa ocorrerá com os segmentos 2 e 4. Estes terão campos com componentes ( - x ^ , z ^ ) e ( x ^ , z ^ ), respectivamente.

Ou seja, o campo magnético resultante no ponto P será na direção z ^ .

Um macete para se enxergar isso, ao invés de olhar fio por fio, você pode usar a sua mão direita e fechar os seus 4 dedos na direção da circulação da corrente, ao fazer isso, o polegar estará apontando pra cima, indicando que o campo magnético gerado é na direção de z ^ .

Passo 2

Já que o campo magnético está na direção de z ^ , para calcular o seu módulo iremos calcular as componentes na direção z ^ geradas por cada fio e então soma-las.

B P = B z 1 + B z 2 + B z 3 + B z 4

E pela simetria do problema, como dito anteriormente, essa componente em z será a mesma para todos os fios, sendo assim, só precisamos calcular 1 e multiplicar por 4. Vamos calcular então a componente z do fio 4 e multiplicá-la por 4 .

B P = 4 × B z 4

(eu escolhi o fio 4 por que ele vai ser mais fácil de calcular, já que ele está apenas no eixo y .

Agora precisamos encontrar o campo produzido pelo fio 4.

Precisamos lembrar que o campo devido a um pedaço infinitesimal de um fio é dado por

d B 4 → = μ 0 i 4 π   d l → × r 1 → r 1 3

Onde:

d l → é o vetor infinitesimal que nos dá a direção da corrente que passa no fio, que no caso do fio 4 corre para o sentido positivo de y .

d l → = d y   j ^

r 1 → é o vetor que nos dá a distância entre um pedaço do fio e o ponto P .

Por trigonometria podemos encontrar o módulo desse vetor formando os seguintes triângulos:

Começando pelo triângulo que está na base da espira, teremos:

x 2 = y 2 + L 2 2

x 2 = y 2 + L 2 4

E agora usando o triângulo aonde está o vetor r 1 → :

r 1 2 = x 2 + z 2

r 1 2 = y 2 + L 2 4 + z 2

r 1 = y 2 + L 2 4 + z 2 1 2

Sendo assim teremos:

d B 4 → = μ 0 i 4 π   d l → × r 1 → r 1 3

d B 4 → = μ 0 i 4 π d y j ^ × r 1 → y 2 + L 2 4 + z 2 3 2  

Agora, pra fechar só precisamos encontrar o nosso vetor r 1 → , que pela figura vemos que ele será:

r 1 → = L 2 i ^ + y j ^ + z k ^

Agora estamos prontos para prosseguir...

Passo 3

Vimos que um pedaço infinitesimal de campo do fio 4 é dado por:

d B 4 → = μ 0 i 4 π d y j ^ × r 1 → y 2 + L 2 4 + z 2 3 2

Pela definição de produto vetorial, vamos calcula-lo através da determinanda da matriz contendo i ^ ,   j ^ ,   k ^ , e as componentes de ambos os vetore:

d y j ^ × r 1 → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ 0 d y 0 L / 2 y z

d y j ^ × r 1 → = z d y i ^ + L 2 d y k ^

Agora, para e vem comigo. Lembra que o campo no ponto P vai ser apenas a componente no eixo z ?

Então, nesse cálculo do campo do fio 4 , eu só preciso me preocupar com a componente do campo que estará na direção de z .

Ficaremos então com:

d B z 4 = μ 0 i 4 π L 2 d y k ^ y 2 + L 2 4 + z 2 3 2

Agora, iremos integrar o campo desse fio, por toda sua extensão, indo de y = - L / 2 até y = L / 2 :

B z 4 = μ 0 i L 8 π ∫ - L / 2 L / 2 d y y 2 + L 2 4 + z 2 3 2 k ^  

Essa integral tem na tabela. Pela tabela temos

∫   d x x 2 + a 2 3 / 2 = x ( a 2 ) x 2 + a 2 + C

Então, podemos aplicar ao nosso exemplo e então:

B z 4 = μ 0 i L 8 π × 1 L 2 4 + z 2 k ^ × y y 2 + L 2 4 + z 2   L / 2 - L / 2

Substituindo os limites de integração, teremos:

B z 4 = μ 0 i L 8 π × 1 L 2 4 + z 2 × L 2 L 2 4 + L 2 4 + z 2   - - L 2 L 2 4 + L 2 4 + z 2 k ^

B z 4 = μ 0 i L 8 π × 1 L 2 4 + z 2 × L L 2 2 + z 2   k ^

B z 4 = μ 0 i L 2 8 π L 2 4 + z 2   1 L 2 2 + z 2   k ^

Passo 4

Agora para encontrar o campo gerado por toda a espira, precisamos multiplicar esse valor por 4!

B → = μ 0 i 2 π L 2 2 + z 2 L 2 L 2 2 + z 2   z ^

Passo 5

Para z ≫ L , todas as parcelas que somavam z com L , teremos que a porção de z será muito maior:

B → = μ 0 i 2 π z 2 L 2 z 2   z ^

B → = μ 0 i L 2 2 π z 3   z ^

Resposta

a )     B → = μ 0 i 2 π L 2 2 + z 2 L 2 L 2 2 + z 2   z ^

b )     B → = μ 0 i L 2 2 π z 3   z ^

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