Enunciado

O potencial elétrico é o mesmo em todos os pontos na superfície de um condutor. Isto significa que a densidade superficial de cargas é também a mesma em todos os pontos da superfície? Explique sua resposta?

Passo 1

Falaa galera, beleza? Essa pergunta é bastante abstrata, não concorda? Então, vamos aplicar uma situação em específico que é ligar duas esferas por um fio metálico. Suponha que essas esferas possuem raios diferentes. Veja a figura a seguir:

Passo 2

Essa situação parece bem diferente da proposta do enunciado, né? Mas o que acontece é o seguinte: quando a gente liga dois corpos condutores por um fio ideal, é como se eles virassem apenas um condutor, pois a função do fio é justamente igualar o potencial das esferas.

Assim, suponha que a esfera 1 possua carga Q 1 e a esfera 2 possua carga Q 2 . Como o potencial das esferas devem ser iguais, segue que:

V 1 = V 2 k Q 1 R 1 = k Q 2 R 2 Q 1 R 1 = Q 2 R 2

Como queremos saber da densidade superficial de cargas, vamos multiplicar os dois denominadores por 4 π (lembre-se que a área da esfera é 4 π R 2 ). Segue que

Q 1 4 π R 1 = Q 2 4 π R 2

Para obtermos a área de cada esfera, façamos o seguinte:

Q 1 4 π R 1 ⋅ R 1 R 1 = Q 2 4 π R 2 ⋅ R 2 R 2 Q 1 4 π R 1 2 R 1 = Q 2 4 π R 2 2 R 2

Porém, Q 1 / 4 π R 1 2 é justamente σ 1 (densidade superficial de cargas da esfera 1). Da mesma maneira, temos Q 2 / 4 π R 2 2 = σ 2 . Dessa forma,

σ 1 σ 2 = R 2 R 1

Passo 3

Porém, como R 2 < R 1 , segue que R 2 R 1 < 1 , segue que

σ 1 σ 2 = R 2 R 1 < 1 σ 1 < σ 2

ou seja, a densidade da esfera maior é menor... isso indica que, mesmo em condutores com o mesmo potencial elétrico, a densidade de carga vai mudando... e mais: a densidade é maior em regiões mais agudas (menor raio de curvatura). Tal fenômeno é conhecido como poder das pontas e isso explicas, em partes, o funcionamento do para raios.

Passo 4

Voltando para a pergunta, podemos imaginar o condutor como sendo um monte de esferinhas ligadas uma na outra... assim, como vimos acima, a densidade superficial de cargas irá mudar! E será maior em regiões com menor raio de curvatura.

Resposta

A densidade varia.

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