Enunciado

Na preparação para um experimento que você fará em seu laboratório de introdução à física nuclear, você está olhando o lado interno de um tubo Geiger. Você mede o raio e o comprimento do fio central do tubo Geiger como 0,200   m m e 12,0   c m , respectivamente. A superfície externa do tubo é uma casca cilíndrica condutora que tem um raio interno de 1,50   c m . A casca é coaxial com o fio e tem o mesmo comprimento ( 12,0   c m ). Calcule

(a) a capacitância de seu tubo, considerando que o gás no tubo tenha uma constante dielétrica de 1,00 , e;

(b) o valor da densidade linear de carga no fio quando a diferença de potencial entre o fio e a casca é de 1,20   k V .

Passo 1

Cara, pela descrição, podemos supor que o tubo de Geiger é um tubo assim...

Ou ainda, vendo frontalmente...

Bem, como a capacitância C é uma propriedade que depende apenas das propriedades geométricas, podemos medir a capacitância do cilindro usando a definição que vimos na teoria...

C = 2 π ε L ln ⁡ R 2 R 1

Então a letra A está no papo, neh?

Passo 2

L e t r a   A :

Só que tem um detalhe! Ele nos disse que a constante dielétrica do gás que está no tubo k = 1,00 . Isso significa que...

k = ε ε 0   →

ε = ε 0 k = ε 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   C 2 / N m 2

Então...

C = 2 π ε L ln ⁡ R 2 R 1   →

Conhecendo o comprimento do tubo ( L = 12   c m = 12 ⋅ 10 - 2 m ) e os raios onde R 2 é o raio da casca esférica R 2 = 1,50   c m e R 1 = 0,20 m m = 0,02 c m , então...

C = 2 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 12 ⋅ 10 - 2 ln ⁡ 1,50   c m 0,02 c m   →

C = 2 π ⋅ 8,85 ⋅ 12 ln ⁡ 75 ⋅ 10 - 14   →

C = 154,55 ⋅ 10 - 14   →

C = 1 , 55 ⋅ 10 - 1 2   →

Ou ainda...

C = 1,55   p F

Passo 3

L e t r a   B :

Cara... Primeiro vamos calcular qual é a carga total Q quando a diferença de potencial entre a casca e o fio for de V = 1,20   k V ...

Q = C V   →

Q = 1,55 ⋅ 10 - 12 ⋅ 1,20 ⋅ 10 3   →

Q = 1,86 ⋅ 10 - 9   →

Ou ainda, Q = 1,86   n C .

Passo 4

Então, com a carga calculada, podemos encontrar a densidade linear de carga no fio, sabendo que...

A área de um fio cilíndrico de raio R 2 = 0,2   m m = 0,2 ⋅ 10 - 3   m , então...

A = 2 π R 2 L

Então, podemos dizer que a densidade linear de carga σ no fio será de...

σ = Q A →

σ = 1,86 ⋅ 10 - 9 2 π R 2 L →

σ = 1,86 ⋅ 10 - 9 2 π ⋅ 0,2 ⋅ 10 - 3 ⋅ 1,5 ⋅ 10 - 2 →

σ = 1,86 2 π ⋅ 0,2 ⋅ 1,5 ⋅ 10 - 4 →

σ = 0,987 ⋅ 10 - 4 →

σ = 98 , 7 ⋅ 10 - 6 →

Ou ainda...

σ = 98,7 ⋅ μ C / m 2

Resposta

L e t r a   A :         C = 1,55   p F

L e t r a   B :           σ = 98,7 ⋅ μ C / m 2

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