Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente, 0,500   m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica, fazendo com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso da esfera. A esfera tem 2,00   m m de raio e uma massa específica de 19,0   g / c m 3 .

(a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa?

(b) Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por que o equilíbrio da esfera seria instável?

Passo 1

Então, resumindo o problema: a gente tem uma esfera completamente absorvente de raio :

R = 2,00   m m = 2 ⋅ 10 - 3 m

E densidade:

ρ = 19,0 g c m 3 = 19 ⋅ 10 3 k g m 3

Posicionada a:

d = 0,500   m

de uma fonte pontual isotrópica. Queremos achar a potência P dessa fonte pra que a força de radiação para cima cancele o peso da esfera.Conteúdo que vamos usar:

  • Intensidade de fonte pontual I = P 4 π d 2
  • Pressão de radiação num corpo absorvente: p r a d = I c
  • Área interceptada pela esfera: A = π R 2
  • Força de radiação: F r a d = p r a d A
  • Peso da esfera: W = m g com m = ρ V e V = 4 3 π R 3

Passo 2

Letra a)

Agora a força de radiação que empurra para cima é dada por:

Temos que a intensidade em d é:

I = P 4 π d 2

A pressão de radiação é:

p r a d = I c

porque cada fóton transfere impulso r = E c .

Área interceptada pela esfera:

A = π R 2

Logo:

F r a d = p r a d A = I c π R 2 = P 4 π d 2 ⋅ π R 2 c = P R 2 4 d 2 c

A condição de equilíbrio vertical nos diz que devemos ter:

F r a d = W

P R 2 4 d 2 c = m g

P = 4 d 2 c m g R 2

P = 4 d 2 c ρ 4 3 π R 3 g R 2

P = 16 π 3 ⋅ ρ d 2 c g R

Substituindo os valores:

P ≅ 4,7 ⋅ 10 11   W

Passo 3

Letra b)

Um equilíbrio é estável se, ao deslocar um pouquinho, surgem forças que trazem de volta. Aqui, como a força de radiação é sempre radial (apontando pra fora), um deslocamento lateral faz surgir uma componente que empurra ainda mais a esfera para longe do eixo, sem nada restaurar. Portanto, o ponto de equilíbrio é instável.

Resposta

  1. P ≅ 4,7 ⋅ 10 11   W
  2. Um equilíbrio é estável se, ao deslocar um pouquinho, surgem forças que trazem de volta. Aqui, como a força de radiação é sempre radial (apontando pra fora), um deslocamento lateral faz surgir uma componente que empurra ainda mais a esfera para longe do eixo, sem nada restaurar. Portanto, o ponto de equilíbrio é instável.
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