Enunciado

No problema 11, a refletividade r da junção é definida como a razão da intensidade da onda refletida para a intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a razão da intensidade transmitida para a incidente. (a) Calcule r e t . (b) Mostre que r + t = 1 , e interprete esse resultado.

Passo 1

Vamos começar lembrando da fórmula para a intensidade de cada onda:

I = 1 2 μ v ω 2 A 2

A onda refletida e a onda incidente têm a mesma velocidade e frequência angular, e transitam em uma corda com a mesma densidade linear, então:

r = I r I i

Lembrando que a intensidade da onda refletida (no problema 11) era dada por B 1 , e a da onda incidente é A 1 .

r = 1 2 μ 1 v 1 ω 2 B 1 2 1 2 μ 1 v 1 ω 2 A 1 2 = B 1 A 1 2

E essa razão era definida como ρ no problema anterior, e a expressão que encontramos para ela foi:

ρ = v 1 - v 2 v 1 + v 2

Então:

r = v 1 - v 2 v 1 + v 2 2

Passo 2

E agora podemos fazer o mesmo para a transmissividade t :

t = I t I i

A intensidade da onda transmitida tem a seguinte fórmula (usando a notação que foi dada no problema 11):

I t = 1 2 μ 2 v 2 ω 2 A 2 2

Então:

t = 1 2 μ 2 v 2 ω 2 A 2 2 1 2 μ 1 v 1 ω 2 A 1 2 = μ 2 v 2 μ 1 v 1   A 2 A 1 2

E essa razão A 2 / A 1 foi definida como τ no problema anterior, e também encontramos uma fórmula para ela:

t = μ 2 v 2 μ 1 v 1   2 v 2 v 1 + v 2 2

Vamos lembrar da seguinte relação entre μ e v :

v = T μ         ⇒         T = v 2 μ

Já que (no problema anterior) a tensão era a mesma nas duas partes da corda:

v 1 2 μ 1 = v 2 2 μ 2

μ 2 μ 1 = v 1 2 v 2 2

Então a fração que apareceu na nossa expressão para t pode ser reescrita:

μ 2 v 2 μ 1 v 1 = v 1 v 2

Então:

t = v 1 v 2   2 v 2 v 1 + v 2 2

t = 4 v 1 v 2 v 1 + v 2 2

Passo 3

(b) Agora vamos verificar que r + t = 1 :

r + t = v 1 - v 2 v 1 + v 2 2 + 4 v 1 v 2 v 1 + v 2 2

r + t = v 1 2 - 2 v 1 v 2 + v 2 2 v 1 + v 2 2 + 4 v 1 v 2 v 1 + v 2 2

E então:

r + t = v 1 2 + 2 v 1 v 2 + v 2 2 v 1 + v 2 2

r + t = v 1 + v 2 2 v 1 + v 2 2

r + t = 1

Para interpretar esse resultado, só precisamos lembrar das definições de r e t :

r = I r I i

t = I t I i

Então:

I r I i + I t I i = 1

I r + I t = I i

E como a intensidade da onda está relacionada com o fluxo de energia. Podemos interpretar esse resultado como consequência da conservação de energia.

Resposta

(a) r = v 1 - v 2 v 1 + v 2 2 e t = 4 v 1 v 2 v 1 + v 2 2 .

(b) Demonstração. O resultado é consequência da lei de conservação de energia.

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