Enunciado

No problema do macaco e caçador da seção 3.1, mostre analiticamente que a bala atinge o alvo e calcule em que instante de tempo isso ocorre dada uma altura h   do galho, distancia d     entre os objetos e v 0 a velocidade inicial da bala.

Passo 1

Nesse exemplo dado, no momento em que o macaco vê o clarão do disparo ele se desprende do galho, mas como a gravidade atua da mesma forma nos 2 corpos independentemente da sua velocidade horizontal, a bala e o macaco sempre estarão na mesma altura, tranquilo? Vamos só escrever isso com umas letrinhas e tá feito.

Passo 2

A bala tem velocidade inicial   v 0 e uma distância d   do macaco, ambos inicial numa altura h 0

Vamos calcular a altura da bala para cada instante de tempo t . Como sua altura depende apenas da componente vertical então o movimento nessa direção é acelerado pela gravidade.

h b = v 0 y + g t 2 2

Como a bala não tem velocidade, inicialmente, na vertical:

  h b ( t ) = 0 . t + g 2 t 2 = g 2 t 2

É um movimento de queda livre na vertical.

Já o macaco tem movimento unicamente vertical, mas ele parte do repouso, então sua velocidade inicial também é nula. Vamos olhar para sua altura

h m t = 0 . t + g 2 t 2 = g 2 t 2  

Logo, chegamos a conclusão de que h m = h b em qualquer instante de tempo, pois só dependem da gravidade local, que é a mesma pros 2 objetos.

Passo 3

Para saber em que instante ocorre a colisão precisamos saber a distância e com que velocidade a bala saiu, certo? Vem comigo!

O movimento horizontal da bala pode ser descrito assim, supondo uma distância d entre a bala e o macaco e a posição inicial da bala sendo s b 0 = 0 :

s b = d =   v 0 x t  

t = d v o x = d v o cos ⁡ θ

Esse é o tempo necessário para a bala atingir o macaco, a uma distância horizontal d e uma altura h .

Só que nós temos esse triângulo aqui para a visualização do problema:

Como c o s θ pode ser escrito como c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a , temos:

c o s θ = d d 2 + h 2

t = d v o d d 2 + h 2

t = d 2 + h 2 v o

Resposta

t = d 2 + h 2 v o

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