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No Problema 6, qual é o módulo da componente (a) horizontal e (b) vertical da força resultante que atua sobre o bloco no ponto Q ? (c) De que altura h o bloco deveria ser liberado, a partir do repouso, para ficar na iminência de perder contato com a superfície no alto do loop? (Iminência de perder o contato significa que a força normal exercida pelo loop sobre o bloco é nula nesse instante.) (d) Plote o módulo da força normal que age sobre o bloco no alto do loop em função da altura inicial h , para o intervalo de h = 0 a h = 6 R .

Passo 1

Na resolução do problema seis percebemos que a única força que realiza trabalho entre o ponto P e o ponto Q é a força gravitacional, que é um força conservativa. Assim, podemos aplicar a conservação da energia mecância para determinar a velocidade no ponto Q , lembrando que h P = 0,60   m e h Q = 0,12   m e que a velocidade no ponto P é nula, pois a bola parte do repouso. Portanto:

E M 0 = E M f

m g h P = m g h Q + m v Q 2 2

Isolando v Q :

v Q = 2 g h P - h Q

v Q = 2 × 9,8 × 0,60 - 0,12 = 3,07   m / s

Passo 2

Com a velocidade em mãos, podemos determinar a força resultante horizontal no ponto Q aplicando a segunda lei de Newton e lembrando que esta é a resultante centrípeta. Portanto:

F R c = m a c

F R c = m v Q 2 R

F R c = 0,032 × 3,07 2 0,12 = 2,51   N

Passo 3

Para determinar a força vertical, basta percebermos que nesta direção atua somente a força peso, portanto:

F R v = P = m g

F R v = 0,032 × 9,8 = 0,314   N

Passo 4

Quando dizemos que o bloco está na iminência de perder o contanto então a normal tende a zero, portanto aplicando a segunda lei de Newton levando em consideração essa suposição no ponto mais alto, encontramos:

P = F R c = m a c

m g = m v 2 R

Isolando v 2 :

v 2 = g R

Assim, aplicando a conservação da energia mecânica para determinar h , temos:

m g h = m v 2 2 + m g 2 R

Isolando h :

h = v 2 2 g + 2 R

Substituindo o valor de v 2 encontrado acima:

h = R 2 + 2 R

h = 5 2 R = 0,3   m

Passo 5

No passo anterior, percebemos que para velocidades menores que v = g R a normal é zero, portanto, nossa análise iniciará a partir deste valor. Aplicando a segunda lei de Newton no ponto mais alto para velocidades superiores a descrita acima, temos:

N = m a c - m g

N = m v 2 R - m g

Podemos relacionar a velocidade com a altura usando novamente a conservação da energia mecânica:

m g h = m g 2 R + m v 2 2

Isolando v 2 :

v 2 = 2 g h - 2 R

Substituindo na expressão da normal:

N = 2 m g h - 2 R R - m g

N = 2 m g h R - 5 m g

Portanto, percebemos que a normal varia linearmente e que para valores de h ≤ 0,3   m a normal é nula:

Resposta

  1. F R c = 2,51   N ;
  2. F R v = 3,14 × 10 - 1   N ;
  3. h = 0,3   m .

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