Enunciado

(a) No problema 77, remova a esfera A e calcule a energia potencial gravitacional do sistema formado pelas outras três partículas. (b) Se a esfera A é introduzida novamente no sistema, a energia potencial do sistema de quatro partículas é maior ou menos que a calculada no item (a)? (c) O trabalho para remover a partícula A do sistema, como no item (a), é positivo ou negativo? (d) O trabalho para recolocar a partícula A no sistema, como no item (b), é positivo ou negativo?

Informações do problema 77: Quatro esferas homogêneas, de massas m A = 40   k g , m b = 35   k g , m c = 200   k g e m D = 50   k g , têm coordenadas ( 0 ,     50   c m ) , ( 0,0 ) , ( - 80   c m ,   0 ) e ( 40   c m ,   0 ) , respectivamente.

Passo 1

(a) A situação descrita no problema 77 é a seguinte:

Vamos usar a fórmula para a energia potencial gravitacional:

U =   - G M m r

É só somar a energia potencial associada a cada par de esferas. Não precisamos ter muito trabalho pra calcular as distâncias, já que a partícula A foi removida, todas as outras esferas estão no mesmo eixo.

Passo 2

Agora vamos somar as energias potenciais:

∑ U = U C B + U B D + U C D

∑ U = - G 200 35 0,8 - G 35 50 0,4 - G 200 50 1,2

∑ U = - G 8750 + 4375 + 8333,3 = - 1,43.10 - 6   J

∑ U = - 1,43.10 - 6   J

Essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

A letra (b) quer saber o que acontece com a energia potencial total quando adicionamos a esfera A ao sistema.

Bom, pelo que vimos logo acima, teríamos que colocar mais alguns termos naquela soma, termos do tipo:

U = - G M m r

Sabemos que r > 0 e G > 0 e massas negativas não existem. Ou seja, estamos subtraindo um termo positivo: a energia potencial nunca vai ser positiva, e portanto a inclusão da esfera A só pode reduzir o valor total.

Passo 4

A letra (c) quer saber se o trabalho para remover a esfera A é positivo ou negativo.

Bom, acabamos de ver que quando colocamos a esfera de volta no sistema, a energia potencial diminui. Isso quer dizer que quando tiramos a esfera, a energia aumenta.

Se uma força aumenta a energia do sistema, o trabalho é positivo ou negativo? Exatamente, é positivo.

E essa é a resposta da letra (c).

Passo 5

A letra (d) é quase igual a anterior, mas quer saber se o trabalho para colocar a esfera é positivo ou negativo.

Já vimos que a energia do sistema diminui quando colocamos a partícula. Isso quer dizer que o trabalho também é negativo.

Resposta

(a) ∑ U = - 1,43 . 10 - 6   J  

(b) É menos do que a energia calculada no item (a)

(c) O trabalho é positivo

(d) O trabalho é negativo

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