Enunciado

Um projétil é lançado com velocidade v 0 formando um ângulo α 0 com a horizontal. O ponto de lançamento está situado a uma altura h acima do solo.

  1. Desprezando a resistência do ar, mostre que a distância horizontal percorrida pelo projétil antes de ele atingir o solo é dada por:

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h

Verifique que, se o ponto de lançamento estivesse situado no mesmo nível do solo, isto é, h = 0 , essa expressão se reduziria ao alcance horizontal R encontrado no Exemplo 3.8 .

b) Para o caso v 0 = 10   m / s e h = 5,0   m , faça um gráfico de x em função do ângulo de lançamento α 0 para valores de α 0 de 0 ° a 90 ° . Seu gráfico deve mostrar que x é igual à zero para α 0 = 90 ° , mas x é diferente de zero para α 0 = 0 ° ; explique a razão disso.

c) Vimos no Exemplo 3.8 que, quando o projétil atinge o solo no mesmo nível em que ele é lançado, o alcance horizontal é máximo para α 0 = 45 ° . Para o caso desenhado no item ( b ) , o ângulo de lançamento para o alcance horizontal máximo é igual a, maior que ou menor que 45 ° ?

(Este problema fornece um resultado geral para o lançamento de um projétil lançado de um ponto mais elevado do que o ponto onde ele atinge o solo.).

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

A questão é longa, mas vamos com calma!

Nesse problema temos um projétil lançado com velocidade v 0 formando um ângulo α 0 com a horizontal. O ponto de lançamento está situado a uma altura h acima do solo.

Com isso, desprezando a resistência do ar, temos que mostrar que a distância horizontal percorrida pelo projétil antes de ele atingir o solo é dada por:

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h

Agora para o caso v 0 = 10   m / s e h = 5,0   m , temos que fazer um gráfico de x em função do ângulo de lançamento α 0 para valores de α 0 de 0 ° a 90 ° . A partir dele devemos mostrar que x é igual à zero para α 0 = 90 ° , mas x é diferente de zero para α 0 = 0 ° e por último o ângulo de lançamento para o alcance horizontal máximo é igual a, maior que ou menor que 45 ° ?

Muita coisa, não é?

Veja só!

Passo 2

Começando pela letra a), vamos fazer um esqueminha do lançamento aqui pra ficar mais claro tá?

Para acharmos a distância horizontal percorrida, que eu vou chamar de x , teremos que analisar separadamente os movimentos vertical e horizontal do projétil, beleza?

Bora lá!

Passo 3

Vamos começar pelo movimento horizontal. Como em um lançamento obliquo o movimento horizontal é um movimento retilíneo uniforme, temos que:

x = x 0 + v 0 x t

Isso porque não há aceleração na horizontal.

Considerando que x 0 = 0 , temos:

x = v 0 cos ⁡ α 0 t

Note que a equação dada na questão não está em função do tempo, então vamos utilizar o movimento vertical para acharmos o tempo

O movimento vertical é um movimento uniformemente acelerado, sendo a aceleração igual a gravidade, então temos que:

y = y 0 + v 0 sen ⁡ α 0 t - 1 2 g t 2

Sabendo que:

y 0 = h

y = 0

Temos:

0 = h + v 0 sen ⁡ α 0 t - 1 2 g t 2

Podemos reorganizar:

1 2 g t 2 - v 0 sen ⁡ α 0 t - h = 0

Resolvendo pela fórmula de Báskara:

t = v o sen ⁡ α 0 ± v 0 2 s e n 2 α 0 - 4 . 1 2 g . ( - h ) g

t = v o sen ⁡ α 0 ± v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h g

Perceba que:

v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h > v o sen ⁡ α 0  

E como o tempo é um valor positivo, temos que:

t = v o sen ⁡ α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h g

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora só temos que substituir o valor de t na expressão para a distância percorrida e chegamos na fórmula desejada:

x = v 0 cos ⁡ α 0 v o sen ⁡ α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h g

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h

Show?

Passo 5

Vamos só verifica rapidinho o que a questão pede para verificarmos.

Fazendo h = 0 nessa expressão:

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h

Teremos:

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 s e n α 0

Juntando os termos semelhantes: x = v 0 c o s α 0 . ( 2 v 0 s e n α 0 ) g = v 0 2 . 2 s e n α 0 c o s α 0 g

Mas pela identidade trigonométrica s e n 2 α 0 = 2 s e n α 0 c o s α 0 daí temos a relação do alcance que já conhecemos:

x = v 0 2 s e n 2 α 0 g

Estamos quase lá!

Passo 6

Até que enfim chegamos na letra b!!

Para v 0 = 10 m / s e h = 5 a expressão para x fica:

x = v 0 c o s α 0 g v 0 s e n α 0 + v 0 2 s e n 2 α 0 + 2 g h

x = 10,2 c o s α 0 + s e n 2 α 0 + s e n 2 α 0 + 0,98

x por α 0 :

Quando temos α 0 = 90 ° temos que o projétil é lançado diretamente na direção vertical, ou seja, pra cima ou para baixo. Assim o movimento na horizontal é nulo, por isso x = 0 para α 0 = 90 ° .

Já quando α 0 = 0 ° , o vetor velocidade é puramente horizontal e por isso x é diferente de zero, e se não temos uma altura inicial, o objeto vai se mover apenas na direção horizontal.

Bacana, não é?

Passo 7

E por último, a letra c

Analisando o gráfico vemos que o máximo de x   é atingido em um ângulo menor do que 45 ° .

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

a )   D e m o n s t r a ç ã o   a o   l o n g o   d a   r e s o l u ç ã o

b )  

c ) M e n o r

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