Enunciado

Um foguete é lançado verticalmente do repouso, com uma aceleração ascendente constante de 1,75   m / s 2 . Após 22,0   s do lançamento, um tanque de combustível não mais necessário é desconectado do foguete. Um membro da tripulação mede que a velocidade inicial do tanque é 25,0   m / s e que ele se move perpendicularmente à trajetória do foguete. O tanque não sofre resistência significativa do ar, somente a força da gravidade, assim que se separa do foguete.

a) Com que velocidade o foguete se move no instante em que o tanque de combustível é ejetado?

b) Quais são os componentes horizontal e vertical da velocidade do tanque de combustível, assim que é ejetado, medido do ponto de vista de i) um membro da tripulação no foguete e ii) um técnico parado em solo?

c) Para qual ângulo em relação à horizontal o tanque ejetado inicialmente se move, do ponto de vista de i) um membro da tripulação no foguete e ii) um técnico parado em solo?

d) Qual altura máxima sobre a plataforma de lançamento o tanque ejetado atinge?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos uma situação em que um foguete é lançado verticalmente do repouso, com uma aceleração ascendente constante de 1,75   m / s 2 . Após 22,0   s do lançamento, um tanque de combustível não mais necessário é desconectado do foguete. Um membro da tripulação mede que a velocidade inicial do tanque é 25,0   m / s e que ele se move perpendicularmente à trajetória do foguete.

A partir daí queremos determinar com que velocidade o foguete se move no instante em que o tanque de combustível é ejetado, quais são os componentes horizontal e vertical da velocidade do tanque de combustível, assim que é ejetado, medido do ponto de vista de i) um membro da tripulação no foguete e ii) um técnico parado em solo.

Além disso, queremos saber para qual ângulo em relação à horizontal o tanque ejetado inicialmente se move, do ponto de vista de i) um membro da tripulação no foguete e ii) um técnico parado em solo e qual altura máxima sobre a plataforma de lançamento o tanque ejetado atinge.

Muita coisa, não é?

Vamos por partes...

Passo 2

O tanque de combustível é ejetado após 22 s do lançamento. Queremos saber qual é a velocidade após 22 s de lançamento vertical com aceleração de 1,75 m / s 2 . Partindo do repouso, ou seja, com v 0 = 0 podemos usar a equação horária para a velocidade:

v = v 0 + a t = 0 + 1,75 ⋅ 22

v = 38,5 m / s

Então a velocidade do foguete é 38,5 m / s no instante que o tanque é ejetado.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

  1. Do ponto de vista de um membro da tripulação, ele está se movimentando junto com o tanque, e não percebe seu movimento na vertical, apenas na horizontal. Então a componente vertical é zero v y = 0 e a componente horizontal é a mesma que a velocidade do tanque, ou seja, de v x = 25 m / s .
  2. Do ponto de vista de um engenheiro no solo, ele percebe tanto a velocidade vertical de 38,5 m / s , quanto a horizontal de 25 m / s . Assim v y = 38,5 m / s e v x = 25 m / s .

Show?

Passo 4

O ângulo pode ser determinado pelo arco tangente da razão das componentes vertical e horizontal α = t g - 1 ( v y / v x ) .

  1. Para um membro da tripulação, v y = 0 ,   v x = 25 m / s , assim o ângulo é:
  2. α = t g - 1 0 25 = 0 °

    Ou seja, ele enxerga como um lançamento horizontal.

  3. Para um engenheiro no solo, ele vê o lançamento com duas componentes. Daí o ângulo vai ser diferente:

α = t g - 1 38,5 25 = 57 °

Bacana, não é?

Passo 5

Quando o tanque é ejetado ele possui uma velocidade vertical de 38,5 m / s , e vai continuar subindo, mas o módulo da velocidade vai diminuindo, pois ali vai agir a gravidade e puxar o tanque pra baixo. Ele atinge a altura máxima quando a velocidade dele zera. A partir daí ele começa a acelerar em direção ao chão.

Mas o problema quer a altura máxima em relação à plataforma de lançamento, então precisamos determinar duas distâncias. A que ele percorre durante os primeiros 22 segundos, e depois quando é ejetado, que é a situação que falei ali em cima.

Nos primeiros segundos podemos usar a equação de movimento:

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2

Como ele foi lançado do chão y 0 = 0 , e partiu do repouso v 0 = 0 , a aceleração dele é de 1,75 m / s 2 e o tempo foi de 22 s :

y = 0 + 0 + 1,75 ⋅ 22 2 2 = 423,5 m

Depois de ejetato, ele parte de uma velocidade de 38,5 m / s e a altura máxima é atingida quando v = 0 . A aceleração agora é da gravidade e aponta para baixo. A distância percorrida durante essa desaceleração vai ser d :

v 2 = v 0 2 - 2 g d

0 = 38,5 2 - 2 ⋅ 9,8 ⋅ d

d = 1482,25 19,6 = 75,625 m

A distância total vai ser a soma desses dois valores:

h = 423,5 + 75,625 = 499,12 m

E aí! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a )   38,5 m / s

b ) i )   v x = 25 m / s  

v y = 0

i i )   v x = 25 m / s

v y = 38,5 m / s

c )   i )   0 °  

i i ) 57 °

d ) 499,12 m

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