Enunciado

Um próton está se movendo ao longo do eixo x de acordo com a equação x = 50 t + 10 t 2 , onde x está em metros e t em segundos. Calcule (a) a velocidade média do próton durante os primeiros 3,0   s de movimento, (b) a velocidade instantânea do próton em t = 3,0   s e (c) a aceleração instantânea do próton em t = 3,0   s . (d) Trace o gráfico de x em função de t e mostre como a resposta do item (a) pode ser obtida a partir do gráfico. (e) Obtenha a resposrta do item (b) a partir do gráfico. (f) Trace o gráfico de v em função de t e mostre no gráfico a resposta do item (c).

Passo 1

(a) Primeiro vamos lembrar da definição de velocidade média:

v = Δ x Δ t

Nesse caso, temos que considerar a variação da posição x nos três primeiros segundos do movimento:

v = x 3 - x ( 0 ) 3,0

Podemos usar a função x ( t ) que foi dada no enunciado para calcular esses valores de x :

x 3 = 50 3 + 10 3 2 = 240   m

x 0 = 0   m

Então:

v = 240 - 0 3,0 = 80   m / s

Passo 2

(b) Agora queremos calcular a velocidade instantânea. Para isso precisamos derivar a função x ( t ) em relação ao tempo:

v = d x d t

v = d d t 50 t + 10 t 2 = 50 + 20 t

No instante t = 3,0   s :

v 3 = 50 + 20 3 = 110   m / s

Passo 3

(c) Agora, para encontrar a acelerçaão instantânea nesse mesmo instante, precisamos derivar mais uma vez em relação a t :

a = d v d t

a = d d t 50 + 20 t = 20   m / s 2

Isso quer dizer que a aceleração é constante e igual a 20   m / s 2 em qualquer instante de tempo.

Passo 4

(d) Agora queremos fazer o gráfico de x ( t ) , e usar esse gráfico para demonstrar o cálculo da velocidade média dos primeiros 3,0   s .

A função é x t = 50 t + 10 t 2 , que corresponde a uma parábola com a concavidade para cima, e que passa pela a origem:

A velocidade média entre os pontos x ( 0 ) e x ( 3 ) corresponde à inclinação da reta que cruza esses dois pontos:

Para calcular a velocidade média entre nesse intervalo, você precisa calcular a inclinação dessa reta, então:

v m é d = Δ x Δ t = x 3 - x ( 0 ) 3 - 0

E ficamos com o mesmo resultado de antes:

v m é d = 110   m / s

Passo 5

(e) Agora queremos encontrar a resposta do item (b) a partir do gráfico. Ou seja, queremos a velocidade instantânea em t = 3,0   s .

Ou seja, queremos a velocidade instantânea em t = 3,0   s . Vimos que a velocidade instantânea é a derivada da função x ( t ) , ou seja, é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto:

Passo 6

(f) Agora queremos fazer um gráfico da velocidade em função do tempo:

v t = 50 + 20 t

Esse é o gráfico de uma reta com inclinação 20 e que cruza o eixo y em 50   m / s :

E queremos usar esse gráfico para calcular a aceleração do próton. Vimos que a aceleração é a derivada da função da velocidade.

Em outras palavras, a aceleração é a inclinação dessa reta. É só escolher dois pontos quaisquer no gráfico e calcular a inclinação:

a = v t 2 - v t 1 t 2 - t 1

Por exemplo, vamos tomar os pontos ( 2,5   ,   100 ) e 3,5   ,   120 :

a = 120 - 100 3,5 - 2,5 = 20   m / s 2

Resposta

(a) v = 80   m / s .

(b) v = 110   m / s .

(c) a = 20   m / s 2 .

(d) Ver gráfico.

(e) Ver gráfico.

(f) Ver gráfico.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um bloco suspenso por uma mola é puxado para baixo e solto. O gráfico da posição versus tempo do bloco é mostrado na FIGURA P2.29. a. Em que instantes a velocidade é nula? Em que instantes ela é mais
A posição de uma partícula é dada por x = ( 2 t 3 - 9 t 2 + 12 )m , onde t está em s. a. Em que instante ou instantes v x é nula?b. Quais são a posição e a aceleração da partícula neste(s) instante(s)
A FIGURA P2.28 Mostra o gráfico da aceleração de uma partícula que parte do repouso em t =0s . Determine sua velocidade nos instantes t =0s ,2s ,4s ,6s ,e8s .
Um trem com uma velocidade constante de 60,0k m / h se move na direção leste por 40,0m i n , depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0 º º a leste com a direção norte por 20,0m i n e, finalmente
A posição de um corpo varia segundo a equação x = Ac o s ⁡ ( ω t ) . Calcule a velocidade e aceleração do corpo no instante t .