Enunciado

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a) Prove que um projétil lançado em um ângulo α 0 possui o mesmo alcance horizontal de outro lançado com a mesma velocidade em um ângulo ( 90 ° - α 0 ) .

b) Uma rã salta com uma velocidade de 2,2   m / s e chega ao solo a 25   c m de distância de seu ponto inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela poderia ter saltado?

Passo 1

Olá tudo bem? Vou ajudar você nessa questão. Dando uma espiadela no exemplo 3.8 do livro texto, vamos ver que ele apresenta uma fórmula para o alcance horizontal. E essa fórmula é essa aqui ó:

R = v 0 c o s α 0 ⋅ 2 v 0 s e n α 0 g

Vamos chamar de R 1 o alcance obtido pelo projétil lançado com ângulo inicial α 0 , ok? E de R 2 o alcance do outro, lançado com um ângulo 90 ° - α 0 . Assim os alcances R 1 e R 2 são:

R 1 = v 0 c o s α 0 ⋅ 2 v 0 s e n α 0 g

R 2 = v 0 cos ⁡ 90 ° - α 0 ⋅ 2 v 0 s e n ( 90 ° - α 0 ) g

Beleza?

Passo 2

A ideia é mostrar que R 1 = R 2 , então precisamos reescrever a expressão para o segundo alcance. Ou seja, precisamos reescrever cos ⁡ 90 ° - α 0 e sen ⁡ 90 ° - α 0 .

Vamos dar uma olhadinha nas relações trigonométricas, na parte das fórmulas de adição, começando pelo seno:

s e n a - b = s e n a cos ⁡ b - cos ⁡ a s e n ( b )

E com a = 90 ° e b = α 0 e sabendo que cos ⁡ 90 ° = 0 e s e n 90 ° = 1 , podemos reescrever a expressão s e n ( 90 ° - α 0 ) de uma forma mais simples, saca só:

s e n ( 90 ° - α 0 ) = s e n 90 ° cos ⁡ α 0 - cos ⁡ 90 ° s e n α 0 = c o s ⁡ ( α 0 )

E agora o cosseno:

c o s a - b = c o s a cos ⁡ b + sen ⁡ a s e n ( b )

E novamente com a = 90 ° e b = α 0 e sabendo que cos ⁡ 90 ° = 0 e s e n 90 ° = 1 , podemos reescrever a expressão c o s ( 90 ° - α 0 ) de uma forma mais simples, saca só:

c o s 90 ° - α 0 = c o s 90 ° cos ⁡ α 0 + sen ⁡ 90 ° s e n α 0 = s e n ( α 0 )

Agora substituindo em R 2   teremos a forma mais simples:

R 2 = v 0 cos ⁡ 90 ° - α 0 ⋅ 2 v 0 s e n ( 90 ° - α 0 ) g

R 2 = v 0 s e n ( α 0 ) ⋅ 2 v 0 c o s ⁡ ( α 0 ) g

E podemos reorganizar os termos sem mudar nada, pois na multiplicação a ordem não importa. Então trocando seno de lugar com o cosseno teremos:

R 2 = v 0 c o s α 0 ⋅ 2 v 0 s e n α 0 g

Que é a mesma expressão para R 1 !

R 2 = R 1

Passo 3

Usando a fórmula reduzida para o alcance:

R = v 0 2 s e n 2 α 0 g

Com os seguintes dados:

R = 0,25 m

g = 9,8 m / s 2

v 0 = 2,2 m / s

É só substituir para determinar os ângulos possíveis:

R g = v 0 2 s e n 2 α 0

s e n 2 α 0 = R g v 0 2 = 0,25 ⋅ 9,8 2,2 2

2 α 0 = s e n - 1 0,5061

2 α 0 = 30,41 °

Então o menor ângulo vai ser:

α 0 = 15,2 °

E o maior vai ser:

α 0 = 15,2 ° + 45 ° = 75,2 °

Aqui atenção! Normalmente para o maior ângulo fazemos + 90 ° , mas aqui como o argumento do seno está 2 x mais rápido, o valor se repete com na metade do caminho em 45 ° .

Resposta

a )   R 2 = R 1 = v 0 c o s α 0 ⋅ 2 v 0 s e n α 0 g

b )   α 0 = 15,2 °   o u   75,2 °

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