Enunciado

A quantidade total de carga positiva Q é espalhada em um anel circular nāo-condutor, plano, com raio interno a e raio externo b. A carga é distribuida de tal forma que a densidade de carga (carga por unidade de área) é dada por σ = k / r 3 , onde r é a distância do centro do anel até qualquer ponto sobre ele. Mostre que (com V = 0 no infinito) o potencial no centro do anel é dado por

V = Q 8 π ε 1 a + b a b .

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamo láaaa!

Um anel é composto de anéis diferenciais de raios r e largura dr variáveis; a carga em qualquer anel é o produto da área do anel, dA = 2πrdr, e a densidade de carga da superfície, ou

d q = σ d A = k r 3 2 π r d r = 2 π k r 2 d r

O potencial no centro pode ser encontrado somando as contribuições de cada anel. Como estamos no centro, cada uma das contribuições será   d V = d q / 4 π ϵ 0 r . Então

V = ∫ a b   k 2 ϵ 0 d r r 3 = k 4 ϵ 0 1 a 2 - 1 b 2 . = k 4 ϵ 0 b 2 - a 2 b 2 a 2 .

A carga total no anel é

Q = ∫ a b   2 π k r 2 d r = 2 π k 1 a - 1 b = 2 π k b - a b a

Combinando

V = Q 8 π ϵ 0 a + b a b .

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Resposta

Q 8 π ϵ 0 a + b a b .

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