Enunciado

Quatro discos iguais de massa m ocupam os vértices de uma armação quadrada, formada por quatro barras rígidas de comprimento l   e massa desprezível. O conjunto está sobre uma mesa de ar horizontal, podendo deslocar-se sobre ela com atrito desprezível. Transmite-se um impulso instantâneo P a uma das massas, na direção de uma das diagonais do quadrado. Descreva completamente o movimento subsequente do sistema.

Passo 1

Se liga: como esse impulso é tangencial, o movimento do sistema vai ser uma rotação em torno do centro de massa! O impulso realizado sobre o sistema é o que vai fazer o sistema se mover, e também vai gerar a diferença de energia rotacional. Bom, como a gente sabe, o torque desse impulso pode ser calculado por:

τ → = r → × F →

τ = r F s e n 90 ° = r F

A gente precisa relacionar a força com o impulso. É mole! Tem até um teorema pra isso!

P = F Δ t

Então...

τ = r P Δ t

Passo 2

Agora lembra do seguinte: o torque é a derivada do momento angular no tempo!

τ = ∂ L ∂ t

Vamos integrar os dois lados:

∫ t τ d t = ∫ ∂ L ∂ t d t

τ Δ t = L

Beleza, mas como a gente achou no primeiro passo, τ = r P Δ t

E então:

r P Δ t Δ t = L

L = r P

Esse r é a distância ao centro, que é metade da diagonal do quadrado de lado l .

L = l P 2

Passo 3

Vamos lembrar de mais uma expressão pro momento angular, agora relacionando o momento de inércia!

L = I ω

Como são pontos, I p o n t o = m r 2 . Mas isso é o momento de inércia de cada um! Temos quatro! Então o momento de inércia total vai ser:

I = 4 m l 2 2

I = 2 m l 2

Substituindo aí em cima o resultado do segundo passo e esse que acabamos de encontrar:

l P 2 = 2 m l 2 ω

ω = P 2 m l 2

Resposta

ω = P 2 m l 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura abaixo mostra uma estrutura rígida formada por um aro de raio R e massa m e um quadrado feito de quatro barras finas de comprimento R e massa m . A estrutura rígida gira com velocidade consta
Uma partícula sofre a ação de dois torques em relação à origem: τ 1 → tem módulo de 2 N . m e aponta no sentido positivo do eixo x , τ 2 → tem um módulo de 4 N . m e aponta no sentido negativo do eixo
Uma partícula se move em um plano x y , em torno da origem, no sentido horário, do ponto de vista do lado positivo do eixo z . Em termos dos vetores unitários, qual é o torque que age sobre a partícul
No instante t , o vetor r → = 4 t 2 i → - 2 t + 6 t 2j → fornece a posição de uma partícula de 3 k g em relação à origem de um sistema de coordenadas x y ( r → está em metros e t em segundos). ( a ) E
Uma partícula de 3 , 00kg com uma velocidade de v → = 5 m / s i → - 6 m / s j → está passando pelo ponto x = 3m ,y = 8m . A partícula é puxada por uma força de 7N no sentido negativo do eixo x . Quais