Enunciado

Na medicina moderna, o efeito Doppler é rotineiramente usado para medir a taxa e a direção do fluxo sanguíneo nas artérias e veias. O "ultra-som" de alta frequência (som em frequências acima do alcance da audição humana) é normalmente empregado. Suponha que você seja responsável por medir o fluxo sanguíneo em uma veia (localizada na parte inferior da perna de um paciente mais velho) que devolve o sangue para o coração. Suas varizes indicam que talvez as válvulas unidirecionais na veia não estejam funcionando adequadamente e que o sangue esteja "acumulando" nas veias e talvez até que o fluxo sanguíneo esteja voltado para os pés. Empregando som com uma frequência de 50,0 kHz, você aponta a fonte de som acima da região da coxa para baixo em direção aos pés e mede o som refletido nessa área da veia como inferior a 50,0 kHz. (a) Seu diagnóstico da condição da válvula estava correto? Se sim, explique. (b) Estime a capacidade de diferença de frequência do instrumento para permitir medir velocidades de até 1,00 mm / s. Considere a velocidade do som na carne igual à da água, 1500 m / s.

Passo 1

Para respondermos a letra (a), precisamos comparar as frequências emitida e recebida, como o enunciado nos diz que uma onda sonora é emitida com uma frequência de 50,0 kHz, e após ser refletida, ela retorna com uma frequência MENOR, então significa que o sangue está se distanciando da fonte de onda, ou seja, está voltado para os pés, e o diagnostico está correto

Passo 2

Na letra (b), vamos usar a equação do efeito Doppler, onde os subíndices de emissor e e receptor r serão utilizados para cada grandeza física:

f r = v ± u r v ± u e f e

Como o sangue se afasta da fonte, o sinal é negativo no numerador, e u e = 0 que é a velocidade fonte, a equação fica:

f r = v - u r v f e = 1 - u r v f e

Passo 3

E a equação da frequência recebida pela fonte, após ser refletida pelo sangue é:

f r ' = v ± u r v ± u e f r

Onde u r passa a ser a velocidade da fonte de som e u e do sangue, que atua como uma fonte, pois as ondas estão vindo dele agora. Como u r = 0 e o sangue se afasta, o sinal é positivo no denominador, ficamos com:

f r ' = v v + u e f r

Passo 4

Substituindo f r na última equação pela equação que encontramos no passo 2:

f r ' = v v + u e 1 - u r v f e

E podemos fazer a seguinte aproximação (pois a velocidade do sangue e muito menor que a velocidade do som):

v v + u e = 1 + u e v - 1 ≈ 1 - u e v

Ficando com:

f r ' = 1 - u e v 1 - u r v f e

Como u e = u r , chamaremos tudo de u:

f r ' = 1 - u v 1 - u v f e

E então fazendo outra aproximação pelo mesmo motivo anterior:

1 - u v 1 - u v ≈ 1 - 2 u v

A equação de f r ' será:

f r ' = 1 - 2 u v f e

Passo 5

E agora podemos fazer a diferença entre a frequência emitida e recebida pela fonte:

∆ f = f r ' - f e

Como estamos interessados apenas na magnitude, tomamos o módulo.

Agora substituindo f r ' :

∆ f = 1 - 2 u v f e - f e

∆ f = 2 u v f e

E colocando os valores numéricos dados no enunciado:

∆ f = 2 ( 1.00 m m / s ) 1500 m / s ( 50.0 H z )

∆ f = 0.07 H z

Resposta

( b ) ∆ f = 0.07 H z

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