Enunciado

A rapidez inicial de uma caixa de 2,4   k g que sobe um plano inclinado a 37 ° com a horizontal é 3,8   m / s . O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o avião é 0,30 . (a) Qual é a distância que a caixa percorre sobre o plano até parar? (b) Qual é a sua rapidez quando já tiver percorrido metade da distância encontrada na parte (a)?

Passo 1

(a) Conforme a caixa sobe o plano inclinado, parte da sua energia cinética vai se transformar em energia potencial gravitacional, e a outra parte vai ser dissipada pela força de atrito:

K = U + E d i s s

A energia potencial gravitacional segue a fórmula de sempre, mas para o plano inclinado podemos relacionar a distância d percorrida ao longo do plano com o deslocamento vertical h da seguinte forma:

U = m g h = m g d sen ⁡ θ

E para a energia dissipada, temos que tomar o módulo do trabalho realizado pela força de atrito:

E d i s s = W = F a t   d

E d i s s = μ N   d

E sabemos que, no plano inclinado, a força normal é igual à componente do peso que é perpendicular ao plano.

E d i s s = μ   m g cos ⁡ θ d

E substituindo tudo isso na equação de antes:

K = U + E d i s s

1 2 m v 2 = m g d sen ⁡ θ + m g μ d cos ⁡ θ

Vamos isolar a distância d :

d = 1 2 v 2 g ( sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ ) = 1 2 3,8 2 ( 9,81 ) ( sen ⁡ 37 ° + 0,30 cos ⁡ 37 ° )

d = 0,87   m

Passo 2

(b) No caso em que o objeto ainda tem alguma rapidez conforme sobe o plano inclinado, precisamos fazer uma pequena modificação na nossa equação:

K 0 = U + E d i s s + K

1 2 m v 0 2 = m g d sen ⁡ θ + m g μ d cos ⁡ θ + 1 2 m v 2

1 2 v 0 2 - v 2 = g d sen ⁡ θ + g μ d cos ⁡ θ

v 2 = v 0 2 - 2 g d sen ⁡ θ - 2 g μ d cos ⁡ θ

v = v 0 2 - 2 g d sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ

E queremos analisar o caso em que d = 0,87 2 = 0,435   m .

v = 3,8 2 - 2 ( 9,81 ) ( 0,435 ) sen ⁡ 37 ° - 0,30 cos ⁡ 37 °

v = 3,8 2 - 2 ( 9,81 ) ( 0,435 ) sen ⁡ 37 ° - 0,30 cos ⁡ 37 °

v = 2,7   m / s

Resposta

(a) d = 0,87   m .

(b) v = 2,7   m / s .

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