Enunciado

Uma rede de firação tem uma resolução R = λ m é d Δ λ = N m . (a) Mostre que a diferença entre as frequências que podem ser resolvidas no limita da resolução, Δ f , é dada por Δ f = c N m λ . (b) Mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima da figura é dada por Δ t = N d c sen ⁡ θ . (c) Mostre que Δ f Δ t = 1 e, que, portanto, esse produto não depende dos parâmetros da rede. Suponha que N ≫ 1 .

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando da relação entre a frequência f e o comprimento de onda λ de uma onda de luz:

c = λ f

f = c λ

Para encontrar a relação entre uma “faixa de frequências” e uma “faixa de comprimentos de onda”, vamos derivar essa função em relação a λ :

d f d λ = - c λ 2

Que pode ser escrita, em forma aproximada, de um outro jeito:

Δ f Δ λ = - c λ 2

Δ λ = - λ 2   Δ f c

Agora vamos pegar a igualdade que foi dada no enunciado (aproximando λ m é d = λ ):

λ Δ λ = N m

Δ λ = λ N m

Juntando as duas expressões:

λ N m = - λ 2   Δ f c

Δ f = - c N m λ

E já que estamos interessados apenas na diferença entre as frequências, podemos ignorar o sinal negativo:

Δ f = c N m λ

Passo 2

(b) Se a diferença entre os caminhos percorridos pelos dois raios é Δ L , e eles se propagam com velocidade c , a diferença no tempo de percurso entre os dois é:

Δ t = Δ L c

Agora precisamos calcular essa diferença de caminho. Vamos fazer um desenho para ajudar:

Δ L = N - 1 d sen ⁡ θ

Então:

Δ t = Δ L c = N - 1 d sen ⁡ θ c

Como estamos falando de uma rede de difração, o número N de fendas deve ser muito grande, então N - 1 ≅ N :

Δ t = N d sen ⁡ θ c

Passo 3

(c) Para demonstrar esse último item, vamos multiplicar as duas expressões que encontramos:

Δ t = N d sen ⁡ θ c

Δ f = c N m λ

Então:

Δ t Δ f = N d sen ⁡ θ c c N m λ = d sen ⁡ θ m λ

Mas nós sabemos que d sen ⁡ θ = m λ , então:

Δ t Δ f = 1

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

(c) Demonstração.

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